[论文解读] Arithmetic of higher-dimensional orbifolds and a mixed Waring problem

T. D. Browning, Shuntaro Yamagishi|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2019

Analytic Number Theory Research参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文建立了高维轨道簇 $(\mathbb{P}^{n-1}, \Delta)$ 上有界高度的有理点数目的渐近公式，其中 $\Delta$ 是在超平面上支撐的 $\mathbb{Q}$-除子，且其重數 $m_i \geq 2$。利用 Hardy–Littlewood 圈法以及 Vinogradov 平均值定理的最新进展，本文在混合 Waring 条件下證明了計數函數 $N(\mathbb{P}^{n-1}, \Delta; B)$ 滿足 $cB^{\sum_{i=0}^n \frac{1}{m_i} - 1} + O(B^{\sum_{i=0}^n \frac{1}{m_i} - 1 - \eta})$，從而解決了此設定下 Campana 級點的稀疏性問題。

ABSTRACT

We study the density of rational points on a higher-dimensional orbifold $(\mathbb{P}^{n-1},D)$ when $D$ is a $\mathbb{Q}$-divisor involving hyperplanes. This allows us to address a question of Tanimoto about whether the set of rational points on such an orbifold constitutes a thin set. Our approach relies on the Hardy-Littlewood circle method to first study an asymptotic version of Waring's problem for mixed powers. In doing so we make crucial use of the recent resolution of the main conjecture in Vinogradov's mean value theorem, due to Bourgain-Demeter-Guth and Wooley.

研究动机与目标

• 確定高維軌道簇 $(\mathbb{P}^{n-1}, \Delta)$ 上 Campana 級點的密度，其中 $\Delta$ 是在有理超平面上支撐的 $\mathbb{Q}$-除子。
• 研究此類軌道簇上的有理點集是否在 Serre 意義下構成稀疏集。
• 利用 Hardy–Littlewood 圈法，將 Waring 問題推廣至混合次數的情形，並結合 Vinogradov 平均值定理的現代估計。
• 在重數倒數的某種條件下，為計數函數 $N(\mathbb{P}^{n-1}, \Delta; B)$ 建立漸近公式。

提出的方法

• 應用 Hardy–Littlewood 圈法，研究混合次數 $x_i^{m_i}$（$m_i \geq 2$）的 Waring 問題的漸近版本。
• 利用 Bourgain–Demeter–Guth 和 Wooley 對 Vinogradov 平均值定理主猜想的最新解決方案，處理指數和與小弧估計。
• 定義 Campana 級點為滿足每個 $x_i$ 是 $m_i$-完全數，且線性組合 $c_0x_0 + \cdots + c_{n-1}x_{n-1}$ 是 $m_n$-完全數的有理點，且其高度不超過 $B$。
• 建立計數函數 $N(\mathbb{P}^{n-1}, \Delta; B)$，用以計數滿足有界高度與完全性條件的本原整數解。
• 利用 $p$-進測度與 Euler 乘積的 $\ell^1$-收斂性，分析局部密度與主項的收斂性。
• 證明在條件 $\sum_{i \neq j} \frac{1}{m_i(m_i+1)} \geq 1$ 對某個 $j$ 成立時，類型 I 和 II 的稀疏子集對計數函數的貢獻可忽略。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種重數 $m_i$ 條件下，計數函數 $N(\mathbb{P}^{n-1}, \Delta; B)$ 具有帶有冪次優化（power savings）的漸近公式？
• RQ2 在 $\Delta$ 是支撐於超平面上的 $\mathbb{Q}$-除子時，軌道簇 $(\mathbb{P}^{n-1}, \Delta)$ 上的有理點集是否在 Serre 意義下構成稀疏集？
• RQ3 當指數 $m_i$ 不同時，$m_i$-完全數的混合 Waring 問題的漸近行為如何？
• RQ4 對於此類軌道簇，$N(\mathbb{P}^{n-1}, \Delta; B)$ 的漸近展開中，精確的首項與誤差項為何？
• RQ5 圈法能否被調整以處理 Campana 級點計數中出現的非均勻指數與完全性條件？

主要发现

• 在某個 $j$ 滿足 $\sum_{i \neq j} \frac{1}{m_i(m_i+1)} \geq 1$ 條件下，計數函數 $N(\mathbb{P}^{n-1}, \Delta; B)$ 滿足 $cB^{\sum_{i=0}^n \frac{1}{m_i} - 1} + O\left(B^{\sum_{i=0}^n \frac{1}{m_i} - 1 - \eta}\right)$，其中 $c \geq 0$ 且 $\eta > 0$。
• 首項常數 $c$ 明確表示為局部密度的收斂級數，且若相關方程存在非奇異的局部解，則 $c > 0$。
• 當 $n=3$ 且所有 $m_i=2$ 時，計數函數滿足 $N(\mathbb{P}^2, \Delta; B) \gg B\log B$，顯示其超出冪律的對數因子。
• 指數 $\sum_{i=0}^n \frac{1}{m_i} - 1$ 與軌道簇 Manin 猜想所預期的漸近指數一致，其中 $a = \sum_{i=0}^n \frac{1}{m_i} - 1$，$b=1$，對應於對數冪修正項。
• 類型 I 和 II 的稀疏子集分別貢獻 $O(B^{-1+\varepsilon})$ 和 $O((\log B)^{-100})$，顯示其在漸近計數中可忽略。
• 條件 $\sum_{i \neq j} \frac{1}{m_i(m_i+1)} \geq 1$ 確保了級數絕對收斂，且主項主導誤差項。