[论文解读] Arithmetic on Balanced Parentheses: The case of Ordered Motzkin Words

Gennady Eremin|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2019

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文在Motzkin词（即不包含前导零的平衡括号序列）上引入了一种字典序排序，将其视为类似于自然数的序列。它在这一有序序列上建立了算术与逻辑运算，称为Motzkin行，其中'0'作为零元，实现了基于索引的操作及词的多项式表示，从而支持词的操纵与导航。

ABSTRACT

We establish a total lexicographical order on the set of Motzkin words. Elements are ordered similarly to Natural Numbers in accordance with known rules (axioms). As a result, we were able to obtain arithmetic and logical operations on the elements of the ordered sequence, Motzkin Row. This sequence consists of balanced brackets without leading zeros, with the exception of the initial word "0". It is the word "0" as well as the alphabetical symbol "0" that are analogues of numeric zero in the corresponding operations. Logical operations allow you to navigate Motzkin Row. Operations on words are accompanied by index equations, index polynomials.

研究动机与目标

• 定义Motzkin词集合上的全字典序，将其视为类似于自然数的序列。
• 在该有序序列上建立算术与逻辑运算，称为Motzkin行，以系统化地操纵平衡括号词。
• 在该系统中将'0'识别为零元，既作为词本身，也作为数值零的符号类比。
• 推导出编码Motzkin词上运算的索引方程与索引多项式，实现算法导航与计算。
• 为平衡括号词的算术提供正式框架，将数论概念扩展至组合词结构。

提出的方法

• 通过逐字符比较字符串，按照标准字典规则，定义Motzkin词上的全字典序。
• 将Motzkin行构建为所有有效Motzkin词的有序序列，以'0'作为第一个元素。
• 利用其字典序索引，在词上引入算术运算（加法、乘法）与逻辑运算（比较、成员检查）。
• 推导出将词运算映射到索引算术的索引方程，实现在无需显式字符串操作下的计算。
• 制定表示词运算结果的索引多项式，使词序列可进行代数处理。
• 在运算中使用'0'作为单位元，既作为词，也作为索引算术中的符号零。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在Motzkin词集合上一致地定义全字典序？
• RQ2 能否在有序的平衡括号词序列上系统地定义算术与逻辑运算？
• RQ3 该算术系统中，词'0'作为数值零的类比起什么作用？
• RQ4 如何推导出表示Motzkin词上运算的索引方程与索引多项式？
• RQ5 该框架能否实现对Motzkin词等组合词结构的高效导航与计算？

主要发现

• 成功在Motzkin词集合上建立了全字典序，形成一个良序序列，称为Motzkin行。
• 在Motzkin行上定义了算术与逻辑运算，使运算类似于自然数上的运算。
• 词'0'在该系统中既是单位元，也是索引算术中的符号零。
• 推导出将词运算映射到索引算术的索引方程，实现通过索引而非字符串操作进行计算。
• 制定了表示运算结果的索引多项式，为词算术提供了代数框架。
• 该框架使能够使用数论与组合工具，系统化地导航与操纵Motzkin词。