[论文解读] Arithmetic progressions in sumsets and L^p-almost-periodicity

Ernie Croot, Izabella Łaba+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2011

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 6被引用 12

一句话总结

本文在阿贝尔群中建立了卷积的新 $L^p$-几乎周期性结果，利用概率逼近引理，给出了格林定理在和集中的长等差数列的简短证明。该研究改进了稀疏集合的界限，表明 $A+B$ 包含长度为 $\exp\left(c\left(\frac{\alpha\log N}{(\log \beta^{-1})^3}\right)^{1/2} - \log(\beta^{-1}\log N)\right)$ 的等差数列，即使密度随 $N$ 衰减亦成立。

ABSTRACT

We prove results about the L^p-almost-periodicity of convolutions. One of these follows from a simple but rather general lemma about approximating a sum of functions in L^p, and gives a very short proof of a theorem of Green that if A and B are subsets of {1,...,N} of sizes alpha N and beta N then A+B contains an arithmetic progression of length at least about exp(c (alpha beta log N)^{1/2}). Another almost-periodicity result improves this bound for densities decreasing with N: we show that under the above hypotheses the sumset A+B contains an arithmetic progression of length at least about exp(c (alpha log N/(log(beta^{-1}))^3)^{1/2}).

研究动机与目标

• 在有限阿贝尔群中建立卷积的一般 $L^p$-几乎周期性结果，适用于加法组合数学问题。
• 通过概率方法，提供格林定理在和集 $A+B$ 中存在长等差数列的简短证明。
• 当一个或两个集合的密度随 $N$ 减小时，改进 $A+B$ 中等差数列长度的下界。
• 将这些结果推广到有限域情形，获得 $A+B$ 中包含子空间维数的界限。
• 推导出小加倍版本的结果，将 $A+B$ 的结构与加倍常数 $K_A$、$K_B$ 联系起来。

提出的方法

• 使用一个关于在 $L^p$-范数下逼近函数的一般引理，推导卷积的几乎周期性，避免使用复杂的傅里叶分析。
• 关键技巧是概率论证：构造一个秩和半径受控的布赫斯集 $T$，使得 $f(x+t) - f(x)$ 的 $L^p$-范数在 $t \in T$ 时较小。
• 对于改进的界限，结合主引理与桑德斯关于小加倍的工作以及鲁扎的模型引理的洞见。
• 该方法适用于 $f = 1_A * 1_B$，并利用柯西-施瓦茨不等式控制 $\|\hat{f}\|_{\ell^1}$，以确保有效性。
• 通过将布赫斯集替换为子空间，将结果推广到有限域，相同论证可获得 $A+B$ 中子空间维数的界限。
• 使用一种自举过程推导出更具结构的几乎周期集，从而在 $2A - 2A$ 中包含陪集进度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否用简单的概率论证替代复杂傅里叶分析工具来证明卷积的几乎周期性？
• RQ2 当 $A$ 和 $B$ 的密度较小或随 $N$ 减小时，$A+B$ 中等差数列长度的最优下界是什么？
• RQ3 $A+B$ 的结构如何依赖于集合 $A$ 和 $B$ 的加倍常数 $K_A$ 和 $K_B$？
• RQ4 几乎周期性框架能否在有限域中适配，以获得关于 $A+B$ 的更强结构结果？
• RQ5 几乎周期集在多大程度上可被构造为更具结构性的形式（例如陪集进度），而不仅仅是布赫斯集？

主要发现

• 证明了一个新的 $L^p$-几乎周期性结果：对任意 $f: G \to \mathbb{C}$，存在一个秩为 $O(p/\epsilon^2)$、半径为 $\Omega(\epsilon)$ 的布赫斯集 $T$，使得对所有 $t \in T$，有 $\|f(x+t) - f(x)\|_{L^p} \leq \epsilon \|\hat{f}\|_{\ell^1}$。
• 将此结果应用于 $f = 1_A * 1_B$，可简短证明格林定理，表明 $A+B$ 包含长度至少为 $\exp\left(c(\alpha\beta\log N)^{1/2} - \log\log N\right)$ 的等差数列。
• 对于密度递减的情形，本文证明了更强的界限：$A+B$ 包含长度至少为 $\exp\left(c\left(\frac{\alpha\log N}{(\log \beta^{-1})^3}\right)^{1/2} - \log(\beta^{-1}\log N)\right)$ 的等差数列。
• 小加倍版本表明：若 $|A+B| \leq K_A|A|, K_B|B|$，则 $A+B$ 包含长度至少为 $\exp\left(c\left(\frac{=\log|A+B|}{K_B(\log 2K_A)^3}\right)^{1/2} - \log(2K_A\log|2A|)\right)$ 的等差数列。
• 在有限域情形 $\mathbb{F}_q^n$ 中，结果表明 $A+B$ 包含一个维数至少为 $c\alpha(\log \beta^{-1})^{-3}n / \log q$ 的子空间的平移。
• 一个改进结果表明：对任意 $d$，存在一个余维数为 $d$ 的子空间 $V$，使得 $A+B$ 包含 $V$ 中任意大小不超过 $\exp\left(c\alpha(\log \beta^{-1})^{-3}d\right)$ 的子集的平移。