[论文解读] Arithmetic Progressions of Cycle Lengths in Graphs

Jacques Verstraëte|ArXiv.org|Apr 17, 2002

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 6被引用 4

一句话总结

该论文通过证明：若二分图的平均度至少为 $4k$ 且围长为 $g$，则其包含 $(g/2 - 1)k$ 个连续的偶数长度环，从而解决了 Häggkvist 和 Scott 的一个猜想。证明依赖于关于带弦环和广度优先搜索子图的结构引理，推广了关于模 $k$ 的环长度结果，并改进了二分图中偶数环的极值边界。

ABSTRACT

A recently posed question of Haggkvist and Scott's asked whether or not there exists a constant c such that if G is a graph of minimum degree ck then G contains cycles of k consecutive even lengths. In this paper we answer the question by proving that for k > 1, a bipartite graph of average degree at least 4k and girth g contains cycles of (g/2-1)k consecutive even lengths. We also obtain a short proof of the theorem of Bondy and Simonovits, that a graph of order n and size at least 8(k-1)n^{1 + 1/k} has a cycle of length 2k.

研究动机与目标

• 解决 Häggkvist 和 Scott 关于线性最小度条件下图中存在 $k$ 个连续偶数长度环的猜想。
• 通过提供更紧的边界 $c_k = 8k$，推广 Bollobás 关于模 $k$ 环长度的结果。
• 利用围长和平均度，为二分图中偶数环的存在性建立新的极值边界。
• 通过新颖的结构引理，给出 Bondy-Simonovits 定理（关于 $C_{2k}$-自由图）的简短证明。

提出的方法

• 利用关于带弦环和顶点划分的关键引理，证明模环长所有长度的路径均存在。
• 应用广度优先搜索子图构造方法，利用 Kostochka 和 Pyber 的结果，寻找平均度高且半径小的子图。
• 利用围长约束限制短环，确保子图具有丰富的结构。
• 将着色引理应用于高色数子图，推导出连续的环长度。
• 结合极值图论与环结构分析，推导出环长序列的边界。
• 对环标记应用归纳法与周期性论证，证明带弦环中路径的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 线性平均度边界是否能保证二分图中存在 $k$ 个连续偶数长度环？
• RQ2 在给定围长的图中，强制出现偶数环长度等差数列所需的最小平均度是多少？
• RQ3 Bollobás 的边界 $c_k = 2[(k+1)^k - 1]/k$ 是否可针对模 $k$ 的环长度进行改进？
• RQ4 高色数且围长大图是否包含长序列的连续环长度？
• RQ5 在给定围长的二分图中，强制出现 $C_{2k}$ 所需的边数的极值数量是多少？

主要发现

• 平均度至少为 $4k$ 且围长为 $g$ 的二分图，包含至少 $(g/2 - 1)k$ 个连续偶数长度环。
• 此类最短环的长度至多为图半径的两倍，将结构与度量性质联系起来。
• $c_k = 8k$ 的边界足以满足 Erdős-Burr 关于模 $k$ 环长度的猜想，优于 Bollobás 的早期边界。
• 该结果表明，大小至少为 $4\lceil 2(k-1)/(g-2)\rceil n^{1+1/k}$ 的二分图包含长度为 $2k$ 的环。
• 给出了 Bondy-Simonovits 定理的简短证明，表明 $8(k-1)n^{1+1/k}$ 条边足以强制出现 $C_{2k}$。
• 对 $C_{2k}$ 的极值边界从 $90kn^{1+1/k}$ 改进为 $8(k-1)n^{1+1/k}$，显示出对环存在性的更紧密控制。