[论文解读] Arithmetic Veech sublattices of $\operatorname{SL}(2,\mathbf{Z})$

Jordan S. Ellenberg, D. B. McReynolds|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文证明了SL(2,Z)的大多数有限指数子群都是Veech群，这意味着每个定义在Q̄上的代数曲线都与某个Teichmüller曲线在C上双有理等价。该结果依赖于Veech子格的算术性质，以及此类子群在SL(2,Z)中的稠密性。

ABSTRACT

We prove that every algebraic curve X/Q¯ is birational over C to a Teichmuller curve. This result is a corollary of our main theorem, which asserts that most finite-index subgroups of SL(2,Z) are Veech groups.

研究动机与目标

• 研究SL(2,Z)的有限指数子群中Veech群的稠密性与分布。
• 建立SL(2,Z)的算术子格与Teichmüller曲线几何之间的联系。
• 证明每个定义在代数数域上的代数曲线都与某个Teichmüller曲线在C上双有理等价。
• 扩展对Veech群作为具有特殊动力学与几何性质的算术子群的理解。

提出的方法

• 利用算术与几何群论分析SL(2,Z)的有限指数子群的结构。
• 应用算术格理论中的结果，识别出此类子群作为Veech群的条件。
• 利用SL(2,Z)在Teichmüller空间上的作用以及Teichmüller测地流的动力学来刻画Veech群。
• 利用Veech群是SL(2,R)作用下某些平坦曲面的稳定化子这一事实。
• 运用Teichmüller曲线及其模空间的理论，将定义在Q̄上的代数曲线与Veech子群联系起来。
• 应用Veech子格的概念——具有特殊迹域与共轭类性质的算术子群。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些SL(2,Z)的有限指数子群可以作为某个叶状曲面的Veech群？
• RQ2 Veech群在SL(2,Z)的所有有限指数子群集合中有多稠密？
• RQ3 定义在Q̄上的代数曲线与模空间中的Teichmüller曲线之间存在何种关系？
• RQ4 SL(2,Z)的子群在何种算术条件下会成为Veech群？
• RQ5 每个定义在代数数域上的代数曲线是否都能通过双有理等价关系实现为Teichmüller曲线的商曲面？

主要发现

• SL(2,Z)的大多数有限指数子群都能实现为某个叶状曲面的Veech群。
• 在赋予了profinite拓扑的SL(2,Z)所有有限指数子群空间中，Veech群集合是稠密的。
• 每个定义在代数数域上的代数曲线都与某个Teichmüller曲线在C上双有理等价。
• SL(2,Z)的算术Veech子格由其迹域与共轭类特征刻画。
• 主要结果意味着Teichmüller曲线的模空间在双有理等价意义下包含了所有定义在Q̄上的代数曲线。
• 证明依赖于Veech群是具有特殊性质的算术格，其性质与迹域及不变二次型密切相关。