[论文解读] Arithmeticity and Hidden Symmetries of Fully Augmented Pretzel Link Complements

Jeffrey S. Meyer, Christian Millichap+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 34被引用 6

一句话总结

本文对完全增强的双曲扭结补全的算术性与共度性进行了分类，证明了大多数此类补全为非算术，并构造了两个无限族：一个无隐藏对称性，另一个隐藏对称性随体积线性增长——达到非算术双曲3-流形可能的最大增长速率。结果基于几何分解、边界形状分析及不变迹域计算得出，显式计算了作为迹域的CM-域。

ABSTRACT

This paper examines number theoretic and topological properties of fully augmented pretzel link complements. In particular, we determine exactly when these link complements are arithmetic and exactly which are commensurable with one another. We show these link complements realize infinitely many CM-fields as invariant trace fields, which we explicitly compute. Further, we construct two infinite families of non-arithmetic fully augmented link complements: one that has no hidden symmetries and the other where the number of hidden symmetries grows linearly with volume. This second family realizes the maximal growth rate for the number of hidden symmetries relative to volume for non-arithmetic hyperbolic 3-manifolds. Our work requires a careful analysis of the geometry of these link complements, including their cusp shapes and totally geodesic surfaces inside of these manifolds.

研究动机与目标

• 精确确定完全增强扭结补全为算术的条件及其共度性。
• 计算这些补全的不变迹域，并证明其实现无穷多个CM-域。
• 构造具有受控隐藏对称性行为的非算术扭结补全的无限族。
• 确立非算术双曲3-流形中隐藏对称性相对于体积的可能最大增长速率。
• 通过分析几何不变量如边界形状与全测地曲面，区分算术与非算术情形。

提出的方法

• 利用反射轨道空间技术，将完全增强扭结分解为理想多面体部分的几何分解。
• 通过代数数论计算不变迹域，并分析其CM-域结构。
• 通过边界形状分析与短测地线检测，排除大多数情形的算术性。
• 通过构造半扭转对以生成具有受控对称性特性的非算术流形族。
• 应用群论工具，将隐藏对称群计算为商群 $ C(\Gamma)/N(\Gamma) $。
• 应用Mostow–Prasad刚性定理与共度性理论，关联共度性类中对称群与体积增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些完全增强扭结，其补全为算术？
• RQ2 哪些完全增强扭结补全彼此共度？
• RQ3 作为这些扭结补全的不变迹域，会生成哪些CM-域？
• RQ4 能否构造非算术的完全增强扭结补全，使其隐藏对称性随体积线性增长？
• RQ5 在非算术双曲3-流形中，隐藏对称性相对于体积的最大可能增长速率为何？

主要发现

• 当 $ n \geq 3 $ 个交叉圆圈时，完全增强扭结补全 $ M_n $ 为算术的，当且仅当 $ n = 3 $。
• $ M_n $ 的不变迹域为CM-域，且对所有此类扭结FAL族，所有此类域均已显式计算。
• 存在一个非算术完全增强扭结补全的无限族，其无隐藏对称性。
• 另一非算术补全的无限族具有恰好 $ 2n $ 个隐藏对称性，实现与体积线性增长的可能最大速率。
• $ M_n' $ 的体积为 $ 8n \left( \mathcal{L}\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2n}\right) + \mathcal{L}\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2n}\right) \right) $，且隐藏对称性随此体积线性增长。
• $ M_n' $ 中的隐藏对称性通过商群 $ C(\Gamma_n')/N(\Gamma_n') $ 实现，且当 $ n \geq 5 $ 时，有 $ [C(\Gamma_n'):N(\Gamma_n')] = 2n $。