[论文解读] Arithmeticity of hyperbolic 3-manifolds containing infinitely many totally geodesic surfaces

G. A. Margulis, Amir Mohammadi|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文证明，若一个闭的双曲3-流形包含无穷多个全测地曲面，则该流形必为算术的，从而在几何复杂性与算术结构之间建立了强有力的联系。作者运用上刚性（superrigidity）与遍历理论，证明此类流形的基本群与 PGL₂(ℂ) 中的算术格共轭，解决了3-流形拓扑与算术几何领域长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

We prove that if a closed hyperbolic 3-manifold M contains infinitely many totally geodesic surfaces, then M is arithmetic.

研究动机与目标

• 建立里德（Reid）结果的逆定理，即算术双曲3-流形要么不包含全测地曲面，要么包含无穷多个全测地曲面。
• 解决里德与麦克马伦（McMullen）提出的问题：无穷多个测地曲面是否蕴含算术性？
• 证明无穷多个全测地曲面的存在性迫使基本群为算术群。
• 将上刚性技术拓展至秩一情形（SO(3,1)），在几何复杂性的背景下进行研究。

提出的方法

• 将上刚性定理应用于基本群到 PGL₂(ℂ) 及其在数域各位置上的完备化下的表示。
• 运用遍历理论与测度论论证，分析测地流及其在等变映射下的像的行为。
• 构造从测地线空间到旗流形的可测等变映射 Ψ，并通过群 Γ 的作用分析其像。
• 利用弱逼近定理与算术群的共轭性质，推导出基本群必为算术群。
• 利用 Ψ 的像几乎必然包含于 PGL₂(ℝ) 的单个轨道中这一事实，推导出格为算术格。
• 通过引理6.5的精细版本运用测度集中论证，表明几乎所有测地线在 Ψ 下的像位于单个横截或直线上，从而推出代数刚性。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个闭的双曲3-流形若包含无穷多个全测地曲面，是否意味着该流形为算术的？
• RQ2 当格未预先已知为算术格时，上刚性技术能否被调整以在秩一情形（SO(3,1)）下证明算术性？
• RQ3 是否存在某种可测或几何刚性条件，可迫使 PGL₂(ℂ) 中的格为算术格？
• RQ4 测地线空间及其在等变映射下的像的结构，能否检测算术性？
• RQ5 在无穷多个测地曲面计数的背景下，正规化子（commensurator）在刻画算术格中起何作用？

主要发现

• 包含无穷多个全测地曲面的闭双曲3-流形必为算术的。
• 此类流形的基本群 Γ 与 PGL₂(ℂ) 中的算术格共轭。
• 测地流映射 Ψ 的像几乎必然包含于 PGL₂(ℝ) 的单个轨道中，暗示代数刚性。
• 证明依赖于可测上刚性论证，表明等变映射 Ψ 必须通过单个代数子群进行分解。
• 结果确认，闭双曲3-流形仅当其基本群为算术群时，才可能包含无穷多个全测地曲面。
• 基本群在其正规化子中的指数为无穷，与通过共轭性刻画算术性的定理C一致。