[论文解读] Arnold Diffusion in a priory chaotic Hamiltonian systems

Vassily Gelfreich, Dmitry Turaev|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2014

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 29被引用 8

一句话总结

本文证明，对于具有不变法向双曲柱面和横截同宿柱面的辛实解析扰动系统，轨迹可连接该柱面的边界。该结果通过证明存在通过通用扰动在相空间中漂移并连接稳定与不稳定流形的轨道，证实了先验混沌哈密顿系统中阿诺德扩散的一种形式。

ABSTRACT

We assume that a symplectic real-analytic map has an invariant normally hyperbolic cylinder and an associated transverse homoclinic cylinder. It is well known that such cylinder is preserved under small perturbations. We prove that for a generic real- analytic perturbation of this map the boundaries of the cylinder are connected by trajectories of the perturbed map.

研究动机与目标

• 建立辛实解析映射中，具有不变法向双曲柱面的系统中，连接该柱面边界轨迹的存在性。
• 研究此类系统的通用实解析扰动是否导致相空间中的全局输运。
• 确认散射映射的导数满足使横截同宿连接成为可能的条件，从而暗示阿诺德扩散。
• 将近似可积哈密顿系统中不稳定机制的理解拓展至解析类别之外。
• 为在具有先验混沌的系统中证明阿诺德扩散的普遍性提供一个框架，使用辛几何与正规形理论。

提出的方法

• 构造一个具有不变法向双曲柱面和横截同宿柱面的辛实解析映射。
• 使用散射映射形式化描述柱面附近的动力学，将其与稳定与不稳定流形联系起来。
• 定义一个 $ C^2 $-光滑的哈密顿函数 $ H $，使其与柱面相切，确保由 $ H $ 生成的向量场也与柱面相切。
• 采用正规形技术简化柱面附近的动力学，并用辛结构与哈密顿流表示散射映射。
• 在柱面上构造一个 $ C^1 $-光滑的哈密顿函数 $ h(v) $，使得散射映射的导数满足实现横截连接所需的界。
• 利用隐函数定理与普遍性论证，证明对于通用实解析扰动，柱面的边界可通过轨道连接。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有法向双曲柱面的辛映射的通用实解析扰动中，轨迹是否可连接其边界分量？
• RQ2 在先验混沌系统中，若存在横截同宿柱面，是否在通用扰动下意味着阿诺德扩散？
• RQ3 散射映射需满足何种条件，才能确保柱面的稳定与不稳定流形横截相交？
• RQ4 能否在解析类别中利用辛几何与正规形技术，建立连接柱面边界的全局轨道的存在性？
• RQ5 阿诺德扩散是否为先验混沌哈密顿系统在实解析扰动下的普遍现象？

主要发现

• 对于具有不变法向双曲柱面和横截同宿柱面的辛映射的通用实解析扰动，存在连接柱面边界的轨迹。
• 散射映射的导数满足确保稳定与不稳定流形横截相交的必要条件，从而实现全局输运。
• 显式构造了一个 $ C^1 $-光滑的哈密顿函数 $ h(v) $，使得其对应的向量场确保散射映射的导数满足必要不等式。
• 该构造依赖于辛正规形与散射映射的 $ au $-导数，表明哈密顿函数的小 $ C^1 $-扰动可保持所需性质。
• 结果证实，即使系统并非解析可积，阿诺德扩散在先验混沌系统中仍为普遍现象。
• 证明表明，导致此类连接轨道的初始条件集合为残集，支持了在解析类别中准遍历性的观点。