[论文解读] Around Poisson--Mehler summation formula

Paweł J. Szabłowski|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2011

Mathematical functions and polynomials被引用 3

一句话总结

本文引入了一个双变量多项式族 $ Q_{m,n}(x,y|t,q) $，通过 $ q $-Hermite 多项式和 Al-Salam–Chihara 多项式推广了 Poisson-Mehler 求和公式。研究证明这些多项式构成二维 $(t,q)$-正态分布的正交基，支持对称展开与互逆级数表示，关键成果包括生成函数与有界正方形区域上的正交分解。

ABSTRACT

We study polynomials in $x$ and $y$ of degree $n+m:\allowbreak \{Q_{m,n}(x,y|t,q)\}_{n,m\geq 0}$ that appeared recently in the following identity: $γ_{m,n}(x,y|t,q) \allowbreak =\allowbreak γ_{0,0}(x,y|t,q) \allowbreak Q_{m,n}(x,y|t,q) $ where $γ_{m,n}(x,y|t,q) \allowbreak =\allowbreak \sum_{i\geq 0}\frac{t^{i}}{[i]_{q}}H_{i+n}(x|q) H_{m+i}(y|q)$, $\allowbreak $ $\{H_{n}(x|q)}_{n\geq -1}$ are the so-called $q-$% Hermite polynomials (qH). In particular we show that the spaces $span\{Q_{i,n-i}(x,y|t,q) :i=0,...,n\}_{n\geq 0}$ are orthogonal with respect to a certain measure (two-dimensional $(t,q)-$Normal distribution) on the square $\{(x,y):|x|,|y|\leq 2/\sqrt{1-q}\} . $ We study structure of these polynomials expressing them with the help of the so-called Al-Salam--Chihara (ASC) polynomials and showing that they are rational functions of parameters $t$ and $q$. We use them in various infinite expansions that can be viewed as simple generalization of the Poisson-Mehler summation formula. Further we use them in the expansion of the reciprocal of the right hand side of the Poisson-Mehler formula.

研究动机与目标

• 通过 $ q $-Hermite 多项式推广 Poisson-Mehler 求和公式，并引入一类新的双变量正交多项式 $ Q_{m,n}(x,y|t,q) $。
• 刻画 $ Q_{m,n} $ 在正方形 $ |x|,|y| \leq 2/\sqrt{1-q} $ 上关于二维 $(t,q)$-正态测度的正交结构。
• 推导涉及 $ Q_{m,n} $ 的生成函数与对称无穷展开，包括 Poisson-Mehler 核的倒数的对称展开。
• 将 $ Q_{m,n} $ 表示为 Al-Salam–Chihara 多项式的形式，并证明其在 $ t $ 和 $ q $ 上为有理函数。
• 证明空间 $ \Lambda_n(x,y|t,q) = \text{span}\{ Q_{i,n-i}(x,y|t,q) \}_{i=0}^n $ 在 $(t,q)$-正态测度下构成 $ L^2 $ 的正交分解。

提出的方法

• 定义 $ \gamma_{m,n}(x,y|t,q) = \sum_{i \geq 0} \frac{t^i}{[i]_q!} H_{i+n}(x|q) H_{m+i}(y|q) $，并将其因式分解为 $ \gamma_{m,n} = Q_{m,n} \cdot \gamma_{0,0} $，从而确立 $ Q_{m,n} $ 的多项式性质。
• 以 Poisson-Mehler 公式为基础，通过 $ q $-级数恒等式与包含 $ q $-Hermite 和 Al-Salam–Chihara 多项式的 $ q $-指数生成函数进行扩展。
• 在 $ S(q) \times S(q) $ 上构造 $(t,q)$-正态测度，其中 $ S(q) = \{ x : |x| \leq 2/\sqrt{1-q} \} $，利用 $ q $-Hermite 与 Al-Salam–Chihara 正交测度的乘积。
• 推导生成函数 $ \sum_{i,j \geq 0} \frac{s^i t^j}{[i]_q! [j]_q!} Q_{i,j}(x,y|t,q) = \frac{\varphi_H(x|t,q) \varphi_H(y|s,q)}{\gamma_{0,0}(x,y|t,q)} \sum_{n \geq 0} \frac{t^n}{[n]_q!} H_n(x|t,q) H_n(y|s,q) $，该式与 Poisson-Mehler 核相关联。
• 证明 $ \Lambda_n(x,y|t,q) = \text{span}\{ Q_{i,n-i}(x,y|t,q) \}_{i=0}^n $ 在 $(t,q)$-正态测度下为正交子空间，构成 $ L^2 $ 的直和分解。
• 利用数学归纳法与 $ q $-二项式恒等式推导对称恒等式，包括 $ \sum_{k=0}^n (-1)^k q^{\binom{n-k}{2}} \binom{n}{k}_q \frac{\prod_{i=0}^{k-1} \omega(\cdot | \rho q^i)}{(\rho^2)_{2k}} = q^{\binom{n}{2}} \rho^n (1-q)^n Q_{n,n}(x,y|\rho,q) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过新一类正交多项式 $ Q_{m,n}(x,y|t,q) $ 将 Poisson-Mehler 求和公式推广至双变量 $ q $-Hermite 多项式？
• RQ2 空间 $ \Lambda_n(x,y|t,q) $ 的正交结构是什么？它们在 $(t,q)$-正态测度下如何分解 $ L^2 $？
• RQ3 Poisson-Mehler 核的倒数能否展开为 $ Q_{m,n} $ 的对称无穷级数？该展开式的具体形式是什么？
• RQ4 多项式 $ Q_{m,n}(x,y|t,q) $ 与 Al-Salam–Chihara 多项式有何关系？它们在 $ t $ 和 $ q $ 上表现出何种有理函数结构？
• RQ5 $ q $-二项式恒等式与 $ q $-指数生成函数在推导对称展开与正交分解中起到什么作用？

主要发现

• 多项式 $ Q_{m,n}(x,y|t,q) $ 是 $ t $ 和 $ q $ 的有理函数，且可表示为 Al-Salam–Chihara 多项式的线性组合，建立了单变量与双变量 $ q $-正交系统之间的桥梁。
• 空间 $ \Lambda_n(x,y|t,q) = \text{span}\{ Q_{i,n-i}(x,y|t,q) \}_{i=0}^n $ 在 $ S(q) \times S(q) $ 上关于 $(t,q)$-正态测度正交，构成 $ L^2 $ 的直和分解。
• 导出了 Poisson-Mehler 核倒数的对称无穷展开：$ \frac{1}{\gamma_{0,0}(x,y|\rho,q)} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\rho^n}{(\rho^2)_\infty} \sum_{k=0}^n (-1)^k q^{\binom{n-k}{2}} \binom{n}{k}_q \frac{\prod_{i=0}^{k-1} \omega(\cdot | \rho q^i)}{(\rho^2)_{2k}} $。
• 推导出 $ Q_{m,n} $ 的生成函数：$ \sum_{i,j \geq 0} \frac{s^i t^j}{[i]_q! [j]_q!} Q_{i,j}(x,y|t,q) = \frac{\varphi_H(x|t,q) \varphi_H(y|s,q)}{\gamma_{0,0}(x,y|t,q)} \sum_{n \geq 0} \frac{t^n}{[n]_q!} H_n(x|t,q) H_n(y|s,q) $，该式与 $ q $-指数生成函数相关联。
• 证明了一个对称恒等式：$ \sum_{k=0}^n (-1)^k q^{\binom{n-k}{2}} \binom{n}{k}_q \frac{\prod_{i=0}^{k-1} \omega(\cdot | \rho q^i)}{(\rho^2)_{2k}} = q^{\binom{n}{2}} \rho^n (1-q)^n Q_{n,n}(x,y|\rho,q) $，利用 $ q $-二项式定理与正交性。
• $(t,q)$-正态测度由 $ q $-Hermite 与 Al-Salam–Chihara 测度构造，其密度在正方形 $ S(q) \times S(q) $ 上显式定义，推广了 $ q $-设置下的二元正态分布。