[论文解读] Around Uncertainty Principles of Ingham-type on $\R^n$, $\T^n$ and Two Step Nilpotent Lie Groups

Mithun Bhowmik, Swagato K. Ray+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2016

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文在 $\mathbb{R}^n$、$\mathbb{T}^n$ 和两步幂零李群上建立了 Ingham 型不确定性原理，推广了紧支集或半空间支集函数的经典傅里叶衰减条件。证明了若此类函数的傅里叶变换衰减快于特定指数速率，则其必恒为零，并将这些结果应用于建立欧氏空间和幂零群上时变薛定谔方程解的唯一延拓性质。

ABSTRACT

Classical results due to Ingham and Paley-Wiener characterize the existence of nonzero functions supported on certain subsets of the real line in terms of the pointwise decay of the Fourier transforms. We view these results as uncertainty principles for Fourier transforms. We prove certain analogues of these uncertainty principles on the $n$-dimensional Euclidean space, the $n$-dimensional torus and connected, simply connected two step nilpotent Lie groups. We also use these results to show a unique continuation property of solutions to the initial value problem for time-dependent Schrödinger equations on the Euclidean space and a class of connected, simply connected two step nilpotent Lie groups.

研究动机与目标

• 将经典 Ingham 和 Paley-Wiener 不确定性原理从实直线推广至高维欧氏空间、环面以及两步幂零李群。
• 通过傅里叶变换的点态衰减条件，刻画在开集或半空间上消失的非零函数的存在性。
• 建立此类不确定性原理与欧氏空间及幂零群上时变薛定谔方程解的唯一延拓性质之间的联系。
• 通过幂零群上的调和分析和表示论，将欧氏空间中的结果推广至非交换情形。

提出的方法

• 在 $\mathbb{R}^n$ 上证明 Ingham 不确定性原理的多变量类比，针对在开集上消失的函数，使用衰减函数 $\theta(t)$ 的可积性条件。
• 在 $\mathbb{R}^n$ 上建立 Paley-Wiener 定理的多变量类比，针对在半空间上支集的函数，使用 $\psi(t)/(1+t^2)$ 的可积性。
• 通过考虑在开子集上消失的函数，并利用周期性及紧阿贝尔群上的傅里叶分析，将这些结果适配至 $n$ 维环面 $\mathbb{T}^n$。
• 通过分析中心 $\mathfrak{z}$ 并利用 Weyl 变换和傅里叶逆变换的薛定谔方程解结构，将框架扩展至连通、单连通的两步幂零李群 $G$。
• 利用 $L^2(G)$ 的表示论分解为薛定谔表示，分别分析 $v$-变量和 $z$-变量中的衰减。
• 通过分析解在 $z$-变量中的傅里叶变换并利用 $w((v,z),t_0)$ 上的衰减估计，将不确定性原理应用于薛定谔方程的初值问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在傅里叶变换的何种衰减条件下，$\mathbb{R}^n$ 上在开集上消失的非零函数必然恒为零？
• RQ2 函数 $\psi$ 需满足何种可积性条件，才能保证存在非零的 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 函数，其支集在半空间且傅里叶变换衰减如 $e^{-\psi(|y|)}$？
• RQ3 如何将 Ingham 型不确定性原理推广至 $n$ 维环面 $\mathbb{T}^n$，其中紧支集或半空间支集函数并不自然出现？
• RQ4 能否利用两步幂零李群上的不确定性原理证明时变薛定谔方程解的唯一延拓性质？
• RQ5 对初始数据和固定时刻解的衰减性施加何种条件，可确保解在 $G \times \mathbb{R}$ 上恒为零？

主要发现

• 若 $f \in L^1(\mathbb{R}^n)$ 在开集上消失，且满足当 $|y|$ 较大时 $|\widehat{f}(y)| = O(e^{-\theta(|y|)|y|})$，则当 $\int_1^\infty \frac{\theta(t)}{t} dt < \infty$ 时，必有 $f \equiv 0$。
• 存在非零的 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 函数，其支集在半空间且傅里叶变换满足 $|\widehat{f}(y)| = O(e^{-\psi(|y|)})$，当且仅当 $\int_{\mathbb{R}} \frac{\psi(t)}{1+t^2} dt < \infty$。
• 在 $n$ 维环面 $\mathbb{T}^n$ 上，若非零函数在开子集上消失，则其傅里叶变换仅当 $\int_1^\infty \frac{\theta(t)}{t} dt < \infty$ 时才可能衰减为 $e^{-\theta(|y|)|y|}$。
• 对于连通、单连通的两步幂零李群 $G$，若初始数据 $f(v,z)$ 衰减如 $e^{-|z|\theta(|z|)}$，且解 $w((v,z),t_0)$ 衰减如 $e^{-\psi(|v|)}$，则当 $\int_\mathbb{R} \frac{\psi(r)}{1+r^2} dr = \infty$ 且 $\int_1^\infty \frac{\theta(r)}{r} dr = \infty$ 时，必有 $w \equiv 0$ 在 $G \times \mathbb{R}$ 上。
• 时变薛定谔方程在 $\mathbb{R}^n$ 和此类李群上的唯一延拓性质，源于初始数据与固定时刻解的衰减性之间的相互作用，该关系由不确定性原理所控制。
• 证明技术依赖于将问题提升至薛定谔表示，利用 Weyl 变换和傅里叶逆变换，并分别对 $v$-变量和 $z$-变量应用不确定性原理。