[论文解读] Arrangements of curves and algebraic surfaces

Giancarlo Urzúa|ArXiv.org|Nov 5, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 9

一句话总结

该论文在非奇异射影曲面的陈类不变量与由曲线排列定义的对数曲面的对数陈类不变量之间建立了牢固的渐近联系。通过基于戴德金和与连分数长度的随机 p 次根覆盖，构造了具有任意接近 71/26 ≈ 2.730769 的陈类比值的单连通一般型曲面，超越了以往记录，并表明随机性能够实现最优渐近行为。

ABSTRACT

We prove a strong relation between Chern and log Chern invariants of algebraic surfaces. For a given arrangement of curves, we find nonsingular projective surfaces with Chern ratio arbitrarily close to the log Chern ratio of the log surface defined by the arrangement. Our method is based on sequences of random p-th root covers, which exploit a certain large scale behavior of Dedekind sums and lengths of continued fractions. We show that randomness is necessary for our asymptotic result, providing another instance of "randomness implies optimal". As an application over the complex numbers, we construct nonsingular simply connected projective surfaces of general type with large Chern ratio. In particular, we improve the Persson-Peters-Xiao record for Chern ratios of such surfaces.

研究动机与目标

• 建立非奇异射影曲面的陈类不变量与由曲线排列产生的对数曲面的对数陈类不变量之间的深刻联系。
• 证明对曲线排列中曲线的重数进行随机分配，可使构造出的曲面的陈类比值任意接近相关对数曲面的对数陈类比值。
• 改进复数域上单连通一般型曲面的陈类比值已知记录。
• 表明随机性不仅是一种工具，更是实现此构造中最优渐近行为的必要条件。
• 提供陈类比值处于此前未达范围（2.703, 3）内的显式曲面例子，特别是接近 71/26 的曲面。

提出的方法

• 通过在加权曲线排列上分支的 p 次根覆盖序列，构造非奇异射影曲面。
• 利用曲线排列的最小对数解析解来定义对数曲面 (Y, A̅)，其对数陈类不变量作为逼近目标。
• 通过戴德金和以及负正则连分数的长度来编码重数对不变量的影响。
• 应用 Girstmair（2006, 2007）关于戴德金和与连分数长度的大规模渐近结果，以控制不变量。
• 证明随机划分素数 p 可在概率趋于 1 的意义下产生“良好”重数，当 p → ∞ 时成立。
• 将随机曲面定义为在曲线排列的解析解上，对随机分配重数的 p 次根覆盖。

实验结果

研究问题

• RQ1 非奇异射影曲面的陈类比值能否趋近于由曲线排列定义的对数曲面的对数陈类比值？
• RQ2 在此构造中，重数分配的随机性是否为实现最优渐近行为所必需？
• RQ3 复数域上单连通一般型曲面可实现的陈类比值的上确界是多少？
• RQ4 能否构造出陈类比值任意接近 71/26 ≈ 2.730769 的曲面，该值此前未被达到？
• RQ5 基于曲线排列的随机 p 次根覆盖是否能产生具有大陈类比值和平凡基本群的曲面？

主要发现

• 所构造曲面的陈类比值可被任意接近于相关对数曲面 (Y, A̅) 的对数陈类比值。
• 对简单横截可除排列中曲线的重数进行随机分配，可使曲面的陈类比值趋近于对数陈类比值，且此结果为最优。
• 该构造产生单连通一般型曲面，其陈类比值可任意接近 71/26 ≈ 2.730769，超越了 Persson-Peters-Xiao 的记录。
• 唯一能实现陈类比值任意接近 8/3 的曲面，是与对偶赫斯塞排列相关的曲面。
• 该方法依赖于戴德金和与连分数长度的渐近行为，这些行为通过 Girstmair 意义下的 F-邻域与普通整数得到控制。
• 对于大素数 p，随机划分 p 产生“良好”重数的概率趋于 1，从而证明随机性对渐近结果而言是本质性的。