[论文解读] Arrangements of hyperplanes I: Rational functions and Jeffrey-Kirwan residue

Michel Brion, Michèle Vergne|ArXiv.org|Mar 30, 1999

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 4被引用 12

一句话总结

本文将极点位于超平面排列上的有理函数空间分解为常系数微分算子模，推广了留数与主要部分的概念。它建立了与局部多项式函数拉普拉斯变换的联系，并为Jeffrey-Kirwan留数提供了代数基础，从而实现了对留数公式的全新证明，并为多维Eisenstein级数与Witten zeta函数恒等式铺平了道路。

ABSTRACT

Consider the space $R_Δ$ of rational functions of several variables with poles on a fixed arrangement $Δ$ of hyperplanes. We obtain a decomposition of $R_Δ$ as a module over the ring of differential operators with constant coefficients. We generalize to the space $R_Δ$ the notions of principal part and of residue, and we describe its relations to Laplace transforms of locally polynomial functions. This explains algebraic aspects of work by L. Jeffreys and F. Kirwan about integrals of equivariant cohomology classes on Hamiltonian manifolds. As another application, we will construct multidimensional versions of Eisenstein series in a subsequent article, and we will obtain another proof of a residue formula of A. Szenes for Witten zeta functions.

研究动机与目标

• 将具有固定超平面排列极点的有理函数空间分解为常系数微分算子模。
• 在此设定下推广主部分与留数的概念，将经典概念扩展至高维有理函数。
• 阐明在哈密顿流形上等变上同调积分中所用Jeffrey-Kirwan留数的代数基础。
• 为后续工作中构造多维Eisenstein级数奠定基础。
• 为A. Szenes的Witten zeta函数留数公式提供代数证明。

提出的方法

• 作者定义了具有固定超平面排列 $ \Delta $ 极点的有理函数空间 $ R_{\Delta} $。
• 他们构造了 $ R_{\Delta} $ 的一个典范分解，将其表示为与排列各流形上喷射型泰勒展开空间同构的子模的直和。
• 他们引入了一个广义留数映射，通过Jeffrey-Kirwan留数构造将经典留数推广至高余维情形。
• 他们通过向量空间上的对偶性与傅里叶分析，将广义留数与局部多项式函数的拉普拉斯变换联系起来。
• 他们运用代数几何与表示论的技术分析 $ R_{\Delta} $ 的模结构。
• 他们建立了 $ R_{\Delta} $ 与紧支集多项式函数空间之间的对偶性，从而实现留数计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将具有超平面排列极点的有理函数空间分解为常系数微分算子模？
• RQ2 对于具有复极点排列的多元有理函数，经典留数与主部分的正确推广是什么？
• RQ3 局部多项式函数的拉普拉斯变换如何与超平面排列上的留数理论相关联？
• RQ4 Jeffrey-Kirwan留数构造如何自然地从 $ R_{\Delta} $ 的代数结构中导出？
• RQ5 此处发展的代数留数理论能否为已知公式（如Szenes对Witten zeta函数的留数公式）提供新证明？

主要发现

• $ R_{\Delta} $ 允许一个典范分解，表示为按超平面排列流形索引的子模直和，每个子模同构于喷射型泰勒展开空间。
• $ R_{\Delta} $ 上的广义留数映射在哈密顿流形上等变上同调积分的背景下与Jeffrey-Kirwan留数一致。
• $ R_{\Delta} $ 与紧支集多项式函数空间之间存在对偶性，使得拉普拉斯变换可被解释为 $ R_{\Delta} $ 上的配对。
• 当排列为中心排列且函数为负次数齐次函数时，$ R_{\Delta} $ 上的留数映射满射到常数空间。
• 此处发展的代数框架为A. Szenes的Witten zeta函数留数公式提供了全新的纯代数证明。
• 本研究结果为后续出版物中构造多维Eisenstein级数奠定了基础。