[论文解读] Arrow's Impossibility Theorem Without Unanimity

Elchanan Mossel|ArXiv.org|Jan 29, 2009

Game Theory and Voting Systems参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文在弱化条件的前提下，提出阿罗不可能性定理的新颖且简洁的证明，表明任何满足可比性（Transitivity）与无关备选项独立性（IIA）的宪法，若还满足弱非强制性（WNI），则必为独裁制度，即使不满足一致同意条件亦然。证明基于三元备选项的局部关键选民论证，完整刻画了所有此类函数，为后续工作中的量化扩展奠定了基础。

ABSTRACT

Arrow's Impossibility Theorem states that any constitution which satisfies Transitivity, Independence of Irrelevant Alternatives (IIA) and Unanimity is a dictatorship. Wilson derived properties of constitutions satisfying Transitivity and IIA for unrestricted domains where ties are allowed. In this paper we consider the case where only strict preferences are allowed. In this case we derive a new short proof of Arrow theorem and further obtain a new and complete characterization of all functions satisfying Transitivity and IIA.

研究动机与目标

• 在弱于一致同意条件的框架下重新推导阿罗不可能性定理，具体而言，使用弱非强制性（WNI）替代一致同意条件。
• 完整刻画仅允许严格偏好的情况下，满足可比性与IIA的所有宪法形式。
• 发展一种基于局部关键选民的证明技术，以促进社会选择理论中的量化扩展。
• 通过避免依赖一致同意条件，克服先前研究的局限性，该条件在概率设定下难以量化。

提出的方法

• 基于两个选民与三个备选项的局部论证，证明在IIA与可比性条件下，关键选民的存在性。
• 应用Barbera的关键选民方法变体，追踪社会偏好在不同备选项集合间的传播机制。
• 对备选项数量进行归纳，从已知为独裁或非恒定函数的小型集合逐步构建。
• 利用引理3.2与引理3.3，证明若某一备选项子集诱导出独裁或非恒定函数，则添加新备选项后该结构得以保持。
• 通过反证法排除在WNI与IIA成立时的非独裁结果，尤其通过分析三元组中的社会排序。
• 依赖偏好配置的结构及社会选择函数在置换下的行为，推导出全局独裁结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 阿罗不可能性定理是否可在不依赖一致同意条件、仅基于较弱的WNI假设下被证明？
• RQ2 当仅允许严格偏好时，满足可比性与IIA的所有宪法的完整集合是什么？
• RQ3 如何利用局部关键选民论证推导社会选择中的全局独裁结果？
• RQ4 该证明技术能否被调整以推导阿罗定理的量化版本？
• RQ5 在IIA与可比性背景下，满足WNI与满足一致同意的宪法之间存在何种结构性差异？

主要发现

• 任何在三个或更多备选项上满足可比性、IIA与WNI的宪法，即使不满足一致同意，也必为独裁制度。
• 本文完整刻画了所有此类函数：对于n位个体，恰好存在2n种可能的独裁形式（恒等映射或反转映射）。
• 该证明表明，若某一函数在大小≥3的子集上为独裁，或在某对备选项上为非恒定函数，则添加任意新备选项后，独裁结构得以保持。
• 该结果表明，WNI足以导致独裁，即使一致同意不成立；且标准独裁定义必须扩展以包含反转映射。
• 该方法为后续工作中的量化阿罗定理提供了基础，表明任何IIA函数若具有高可比性概率，则ε-接近于某一独裁函数。
• 该证明避免依赖可量化的“一致同意”条件，因此适用于大规模社会中的概率性与鲁棒性分析。