[论文解读] Arthur packets for $p$-adic groups by way of microlocal vanishing cycles of perverse sheaves, with examples

Clifton Cunningham, Andrew Fiori+3 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文通过等变平展层的局部消失上同调，提出了一类 $p$-进群的亚瑟包的几何实现，建立了一个类似于亚当斯、巴尔巴什和沃根在实群工作中的局部化函子。关键贡献在于，通过这一局部化框架，提出了亚瑟包作为 ABV-包的几何描述及其转移系数的猜想，已在多个例子中得到验证。

ABSTRACT

In this article we propose a geometric description of Arthur packets for $p$-adic groups using vanishing cycles of perverse sheaves. Our approach is inspired by the 1992 book by Adams, Barbasch and Vogan on the Langlands classification of admissible representations of real groups and follows the direction indicated by Vogan in his 1993 paper on the Langlands correspondence. Using vanishing cycles, we introduce and study a functor from the category of equivariant perverse sheaves on the moduli space of certain Langlands parameters to local systems on the regular part of the conormal bundle for this variety. In this article we establish the main properties of this functor and show that it plays the role of microlocalization in the work of Adams, Barbasch and Vogan. We use this to define ABV-packets for pure rational forms of $p$-adic groups and propose a geometric description of the transfer coefficients that appear in Arthur's main local result in the endoscopic classification of representations. This article includes conjectures modelled on Vogan's work, especially the prediction that Arthur packets are ABV-packets for $p$-adic groups. We gather evidence for these conjectures by verifying them in numerous examples.

研究动机与目标

• 通过局部化方法，为 $p$-进群的亚瑟包建立几何框架。
• 通过平展层的消失上同调，将实群中的局部化函子推广至 $p$-进群。
• 利用此几何方法，为 $p$-进群的纯有理形式定义 ABV-包。
• 在内播分类的框架下，提出亚瑟转移系数的几何解释。
• 为亚瑟包在 $p$-进情形下与 ABV-包一致的猜想提供证据。

提出的方法

• 使用朗兰兹参数模空间上等变平展层的消失上同调。
• 从等变平展层构造一个到余切丛正则部分局部系统上的函子。
• 将此函子用作类似于亚当斯、巴尔巴什和沃根在实群情形下的局部化工具。
• 利用余切丛的几何结构，为 $p$-进群定义 ABV-包。
• 利用该函子分析并描述亚瑟局部内播分类中的转移系数。
• 通过多个例子中的显式计算验证猜想，包括经典群与例外群。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用局部消失上同调来定义 $p$-进群的亚瑟包？
• RQ2 所提出的局部化函子在多大程度上能恢复亚瑟包的结构？
• RQ3 在该几何框架下，$p$-进群的亚瑟包是否与 ABV-包等价？
• RQ4 亚瑟内播分类中的转移系数能否通过此函子实现几何解释？
• RQ5 余切丛在实现 $p$-进群局部朗兰兹对应中的作用是什么？

主要发现

• 所构造的从等变平展层到余切丛正则部分局部系统上的函子，满足类似于实群情形下局部化的关键性质。
• 该构造通过局部数据为纯有理形式的 $p$-进群提供了 ABV-包的几何定义。
• 亚瑟主局部结果中的转移系数被猜想自然源于平展层的局部结构。
• 通过多个例子的验证，支持了 $p$-进群中亚瑟包与 ABV-包一致的猜想。
• 该框架通过消失上同调，将亚当斯–巴尔巴什–沃根的方法从实群推广至 $p$-进群。
• 该方法通过平展层理论，为 $p$-进群的局部朗兰兹对应建立了新的几何路径。