[论文解读] Artificial compressibility methods for the incompressible Navier-Stokes equations using lowest-order face-based schemes on polytopal meshes

Riccardo Milani, Jérôme Bonelle+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2021

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 74被引用 4

一句话总结

本论文提出了一种基于面的、最低阶的混合格式，用于在多胞形网格上通过人工可压缩性（AC）时间积分求解瞬态不可压缩N-S方程。该方法在每个时间步长中解耦速度与压力的更新，实现对对流项的显式处理，相较于单一格式，计算成本降低了约50%，同时在三维多胞形网格上保持了速度和压力误差的二阶精度及最优收敛率。

ABSTRACT

We investigate artificial compressibility (AC) techniques for the time discretization of the incompressible Navier-Stokes equations. The space discretization is based on a lowest-order face-based scheme supporting polytopal meshes, namely discrete velocities are attached to the mesh faces and cells, whereas discrete pressures are attached to the mesh cells. This face-based scheme can be embedded into the framework of hybrid mixed mimetic schemes and gradient schemes, and has close links to the lowest-order version of hybrid high-order methods devised for the steady incompressible Navier-Stokes equations. The AC timestepping uncouples at each time step the velocity update from the pressure update. The performances of this approach are compared against those of the more traditional monolithic approach which maintains the velocity-pressure coupling at each time step. We consider both first-order and second-order time schemes and either an implicit or an explicit treatment of the nonlinear convection term. We investigate numerically the CFL stability restriction resulting from an explicit treatment, both on Cartesian and polytopal meshes. Finally, numerical tests on large 3D polytopal meshes highlight the efficiency of the AC approach and the benefits of using second-order schemes whenever accurate discrete solutions are to be attained.

研究动机与目标

• 开发一种适用于一般多胞形网格的鲁棒、低阶面基格式，用于求解不可压缩N-S方程。
• 评估人工可压缩性（AC）时间积分与经典单一格式在精度和效率方面的对比。
• 研究一阶与二阶时间格式在对非线性对流项采用隐式与显式处理时的性能表现。
• 评估显式时间推进下的稳定性与收敛行为，特别是针对结构化笛卡尔网格与多胞形网格的CFL限制。
• 展示AC方法在大规模三维多胞形网格上的可扩展性与计算效率。

提出的方法

• 采用最低阶面基格式，其中离散速度定义在网格面上与单元内，离散压力定义在网格单元上，从而支持多胞形网格。
• 利用人工可压缩性实现速度与压力更新的解耦：首先通过带梯度-散度稳定项（νη∇∇·u）的修正Stokes型问题更新速度，随后通过速度的散度校正压力。
• 采用一阶（后向欧拉）与二阶（BDF2）时间离散格式，对对流项实施显式或隐式处理。
• 在混合混合 mimetic 与梯度格式的框架内实现该方法，确保在一般多胞形网格上的相容性与稳定性。
• 使用迭代线性求解器（GKB与CG）并结合自适应容差控制，以平衡精度与计算成本。
• 在二阶AC格式中采用自举过程重构中间状态，以保证时间精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在多胞形网格上，人工可压缩性方法在时间积分不可压缩N-S方程时，其精度与效率相较于单一格式如何？
• RQ2 对流项采用显式与隐式处理对稳定性与计算成本的影响如何，特别是在CFL限制方面？
• RQ3 使用AC方法时，一阶与二阶时间格式在速度与压力误差上的收敛率如何？
• RQ4 在显式时间推进下，AC方法在笛卡尔网格与多胞形网格上的性能特征有何差异？
• RQ5 二阶AC格式是否能在计算成本仅适度增加的情况下，显著提升精度，优于一阶格式？

主要发现

• AC方法在大规模三维多胞形网格上实现的计算时间比单一格式低约50%，同时保持了相近的精度水平。
• 相较于一阶格式，二阶AC格式使速度误差降低3.6倍，压力误差降低2.3倍，且计算时间不足其两倍。
• AC方法在所有测试的格式与网格类型下，均保持了速度与压力在L2与H1范数下的最优收敛率。
• 显式时间推进下，CFL限制与雷诺数的倒数呈线性关系，多边形网格的约束仅略为严格于笛卡尔网格。
• 人工可压缩性参数η = 10相比η = 50具有更高的计算效率，尤其在一阶AC格式中表现更优。
• 二阶AC格式中的自举过程每时间步需两次线性求解，但整体性能仍优于单一BDF2格式（仅需一次求解但整体计算成本显著更高）。