[论文解读] Artificial intelligence for partial differential equations in computational mechanics: A review

Yizheng Wang, Jinshuai Bai+10 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2024

Model Reduction and Neural Networks被引用 15

一句话总结

本文综述计算力学中的AI用于PDEs，涵盖PINNs、DEM、算子学习与PINO，应用于固体、流体和生物力学，并讨论正向/逆问题及基础模型前景。

ABSTRACT

In recent years, Artificial intelligence (AI) has become ubiquitous, empowering various fields, especially integrating artificial intelligence and traditional science (AI for Science: Artificial intelligence for science), which has attracted widespread attention. In AI for Science, using artificial intelligence algorithms to solve partial differential equations (AI for PDEs: Artificial intelligence for partial differential equations) has become a focal point in computational mechanics. The core of AI for PDEs is the fusion of data and partial differential equations (PDEs), which can solve almost any PDEs. Therefore, this article provides a comprehensive review of the research on AI for PDEs, summarizing the existing algorithms and theories. The article discusses the applications of AI for PDEs in computational mechanics, including solid mechanics, fluid mechanics, and biomechanics. The existing AI for PDEs algorithms include those based on Physics-Informed Neural Networks (PINNs), Deep Energy Methods (DEM), Operator Learning, and Physics-Informed Neural Operator (PINO). AI for PDEs represents a new method of scientific simulation that provides approximate solutions to specific problems using large amounts of data, then fine-tuning according to specific physical laws, avoiding the need to compute from scratch like traditional algorithms. Thus, AI for PDEs is the prototype for future foundation models in computational mechanics, capable of significantly accelerating traditional numerical algorithms.

研究动机与目标

• 以将数据和物理规律结合来解决计算力学中复杂PDEs为目标，推动AI4PDEs成为有前景的方法。
• 总结并比较主要的AI用于PDEs的算法（PINNs、DEM、算子学习、PINO）及其理论基础。
• 突出固体、流体和生物力学领域中的正向问题和逆问题应用。
• 讨论挑战、局限性及未来方向，包括计算力学中的基础模型。

提出的方法

• 介绍将物理信息神经网络（PINNs）在强形式和能量形式下作为PDE的代理求解器。
• 将Deep Energy Method（DEM）解释为基于最小势能原理的能量形式PINN变体。
• 概述算子学习方法（如DeepONet、Fourier Neural Operator）用于学习PDE输入与输出之间的映射。
• 介绍将算子学习与物理方程融合的物理信息神经算子（PINO）。
• 提出支撑AI4PDEs的数据与物理整合范式，并讨论离散化不变性与自动微分的好处。
• 概述结合PDE残量、边界/初始条件与数据项的核心方程与损失函数结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 主要的AI4PDEs算法是什么？它们在形式化和适用性上有何区别？
• RQ2 与传统数值方法相比，AI用于PDEs如何加速计算力学？
• RQ3 在固体、流体和生物力学的正问题与逆问题中，PINNs、DEM、算子学习和PINO各自的优点与局限性是什么？
• RQ4 基础模型在计算力学的AI4PDEs中可能的作用是什么，可能会出现哪些挑战？

主要发现

• PINNs通过在强形式或能量形式下通过残差损失强制物理规律，提供灵活的半监督框架，且易于适应反问题。
• DEM（深度能量法）利用变分原理来减少超参数并可能提高相对于强形式PINNs的效率。
• 算子学习（如DeepONet、FNO）实现对PDE解的快速、离散化不变的映射，特别是在大数据量情形。
• 物理信息神经算子（PINO）将算子学习与物理方程融合，以应对模糊物理和有限数据，实现在新条件下的快速适应。
• AI4PDEs能够通过将数据驱动的代理和物理规律结合，显著加速PDE求解，在某些情境下可能比传统方法快数千到数万倍。
• PINNs和基于算子的方法面临数据需求、优化非凸性、超参数调整，以及确保在不同问题中鲁棒性与准确性的挑战。