[论文解读] Artificial Neural Network Approach for Solving Fractional order initial value problems

Susmita Mall, Snehashish Chakraverty|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 32被引用 7

一句话总结

本文提出了一种新颖的人工神经网络（ANN）方法，采用多层前馈架构结合误差反向传播，用于求解分数阶初值问题（FIVPs）。通过将初始条件嵌入网络输出，并利用无监督学习最小化损失函数，该方法实现了高精度的近似解，数值结果表明其与传统方法具有高度一致性。

ABSTRACT

In this paper, an Artificial Neural Network (ANN) technique is developed to find solution of celebrated Fractional order Differential Equations (FDE). Compared to integer order differential equation, FDE has the advantage that it can better describe sometimes various real world application problems of physical systems. Here we have employed multi-layer feed forward neural architecture and error back propagation algorithm with unsupervised learning for minimizing the error function and modification of the parameters (weights and biases). Combining the initial conditions with the ANN output gives us a suitable approximate solution of FDE. To prove the applicability of the concept, some illustrative examples are provided to demonstrate the precision and effectiveness of this method. Comparison of the present results with other available results by traditional methods shows a close match which establishes its correctness and accuracy of this method.

研究动机与目标

• 开发一种无网格、元启发式的计算方法，用于求解难以通过解析方法求解的分数阶微分方程（FDEs）。
• 克服传统数值方法在处理具有复杂或非整数阶导数的FDEs时的局限性。
• 证明利用人工神经网络近似求解各类分数阶初值问题（FIVPs）的可行性与准确性。
• 通过基准示例，将所提出的ANN框架与已建立的解析解和数值解进行验证。

提出的方法

• 采用多层前馈神经网络来近似分数阶初值问题的解。
• 基于分数阶微分方程残差和初始条件的损失函数，采用无监督学习策略进行网络训练。
• 损失函数结合了分数阶微分方程的残差和初始条件的违反程度，形成复合误差度量。
• 通过反向传播算法更新权重和偏置，以在训练过程中最小化总误差。
• 将初始条件直接嵌入网络输出结构，以确保从训练开始即满足初始约束。
• 将该方法应用于多个示范性FIVPs，以评估其精度和收敛性，且无需进行域离散化。

实验结果

研究问题

• RQ1 人工神经网络能否以高精度有效近似求解分数阶初值问题？
• RQ2 所提出的基于ANN的方法在求解FDEs时，其精度与传统数值或解析方法相比如何？
• RQ3 在无标签数据或域分解的情况下，无监督学习结合反向传播在多大程度上可用于求解FDEs？
• RQ4 将初始条件直接嵌入网络输出结构在多大程度上能提升解的一致性和收敛性？
• RQ5 该方法在不同分数阶和非线性FDEs下的鲁棒性如何？

主要发现

• 所提出的ANN方法在精度上可与传统数值方法相媲美，数值结果表明其与精确解或基准解高度一致。
• 该方法成功处理了多种类型的分数阶初值问题，包括不同阶次的线性和非线性方程。
• 采用无监督学习结合误差反向传播，可实现有效训练，且无需标签数据或基于网格的离散化。
• 将初始条件嵌入网络输出结构可确保解从训练初期即满足初始约束。
• 该方法在多个测试案例中表现出鲁棒性和一致性，表明其在分数阶微积分问题中具有广泛的应用潜力。