[论文解读] Artin groups of infinite type: trivial centers and acylindical hyperbolicity

Ruth Charney, Rose Morris-Wright|arXiv (Cornell University)|May 10, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文证明了当其定义图不是星形时，无限型Artin群的中心是平凡的；当图不是连枝时，这些群是可拟双曲的。通过在CAT(0)立方复形上的作用，作者通过分析团簇-立方复形和向下链复形的结构，利用归纳锥构造将全局性质约化为有限型子群的性质，从而证明了这些性质。

ABSTRACT

While finite type Artin groups and right-angled Artin groups are well-understood, little is known about more general Artin groups. In this paper we use the action of an infinite type Artin group $A_Γ$ on a CAT(0) cube complex to prove that $A_Γ$ has trivial center providing the graph $Γ$ is not the star of a single vertex, and is acylindrically hyperbolic providing $Γ$ is not a join.

研究动机与目标

• 解决关于无限型Artin群代数与几何性质的长期猜想，特别是平凡中心和可拟双曲性。
• 将有限型和右角Artin群的已知结果推广到更广泛的无限型Artin群类别。
• 确立当定义图不是单个顶点的星形时，Artin群的中心是平凡的；当图不是连枝时，群是可拟双曲的。
• 利用Artin群在CAT(0)立方复形上的作用，将全局群论性质约化为有限型子群的局部性质。
• 通过团簇-立方复形和向下链复形建立统一框架，证明无限型Artin群的无挠性、K(π,1)-猜想和平凡中心。

提出的方法

• 作者构造了一个团簇-立方复形 ${\mathcal{C}_{\Gamma}}$，使得Artin群 $A_{\Gamma}$ 在其上进行适当且等距的作用。
• 他们将顶点 $v = aA_T$ 处的向下链复形 $dl(v)$ 定义为所有满足 $bA_R \subsetneq aA_T$ 的顶点 $bA_R$ 生成的子复形，重点研究无限型子群。
• 通过关于团簇 $T$ 大小的归纳法，证明当 $A_T$ 为无限型时，$dl(v)$ 是可缩的，方法是将更小子群的可缩向下链复形进行锥化。
• 若所有无限型顶点处的 $dl(v)$ 均可缩，则Deligne复形 $\mathcal{D}_{\Gamma}$ 同伦等价于完整的团簇-立方复形 $\mathcal{C}_{\Gamma}$，而后者是CAT(0)的，因此也是可缩的。
• 利用 $A_{\Gamma}$ 在 $\mathcal{C}_{\Gamma}$ 上的作用推导出几何与代数性质：通过不动点论证得出平凡中心，通过在立方复形上的作用结构得出可拟双曲性。
• 通过证明 $\mathcal{D}_{\Gamma}$ 的同伦型仅依赖于每个团簇 $T$ 的 $\mathcal{D}_T$ 的可缩性，将全局猜想（如 $K(\pi,1)$-猜想、无挠性）约化为有限型子群。

实验结果

研究问题

• RQ1 在定义图 $\Gamma$ 满足何种条件时，无限型Artin群 $A_{\Gamma}$ 的中心是平凡的？
• RQ2 在何种条件下，无限型Artin群 $A_{\Gamma}$ 是可拟双曲的？
• RQ3 能否将 $A_{\Gamma}$ 的 $K(\pi,1)$-猜想约化为团簇 $T$ 对应的有限型子群 $A_T$ 的情形？
• RQ4 如何利用 $A_{\Gamma}$ 在CAT(0)立方复形上的作用来证明无挠性等代数性质？
• RQ5 团簇-立方复形中向下链复形 $dl(v)$ 在建立Deligne复形 $\mathcal{D}_{\Gamma}$ 的同伦性质中起什么作用？

主要发现

• 当 $\Gamma$ 不是单个顶点的星形时，$A_{\Gamma}$ 的中心是平凡的，此结论通过在CAT(0)立方复形上的不动点论证得以证明。
• 当 $\Gamma$ 不是连枝时，群 $A_{\Gamma}$ 是可拟双曲的，这是通过其在团簇-立方复形上的几何作用所确立的。
• 若所有有限型子群 $A_T$ 对应的 $K(\pi,1)$-猜想成立，则 $A_{\Gamma}$ 的 $K(\pi,1)$-猜想也成立，因为 $\mathcal{D}_{\Gamma}$ 同伦等价于可缩的 $\mathcal{C}_{\Gamma}$。
• 无挠性由所有 $A_T$ 的无挠性推出，因为任何有限阶元素必固定一个顶点，从而属于某个 $A_T$ 的共轭，而 $A_T$ 是无挠的。
• 在任意顶点 $v = aA_T$ 处，若 $A_T$ 为无限型，则其向下链复形 $dl(v)$ 是可缩的，该结论通过归纳法证明，方法是将更小的可缩链复形进行锥化。
• 若所有团簇 $T$ 对应的 $\mathcal{D}_T$ 均为可缩，则 $\mathcal{D}_{\Gamma}$ 也是可缩的，因为 $\mathcal{D}_{\Gamma}$ 是通过归纳锥化可缩的向下链复形构造而成。