[论文解读] Artin groups of type B and D

John Crisp, L. Paris|ArXiv.org|Oct 29, 2002

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用 11

一句话总结

该论文证明了类型为 $B_n$ 和 $D_n$ 的Artin群可分解为半直积结构 $F \rtimes \mathcal{B}_n$，其中 $F$ 为自由群，$\mathcal{B}_n$ 为 $n$-绳 braid 群。$\mathcal{B}_n$ 对 $F$ 的作用自然源于正则轨道空间的纤维化结构，且这些Artin群的外自同构群极小：$B_n$ 的外自同构群阶为 2；当 $n$ 为偶数时，$D_n$ 的外自同构群阶为 4，当 $n$ 为奇数时阶为 2。

ABSTRACT

We show that each of the Artin groups of type $B_n$ and $D_n$ can be presented as a semidirect product $F times {\cal B}_n$, where $F$ is a free group and ${\cal B}_n$ is the $n$-string braid group. We explain how these semidirect product structures arise quite naturally from fibrations, and observe that, in each case, the action of the braid group ${\cal B}_n$ on the free group $F$ is classical. We prove that, for each of the semidirect products, the group of automorphisms which leave invariant the normal subgroup $F$ is small: namely, ${ m Out}(A(B_n),F)$ has order 2, and ${ m Out}(A(D_n),F)$ has order 4 if $n$ is even and 2 if $n$ is odd. It is known that the Artin group of type $D_n$ may be viewed as an index 2 subgroup of the $n$-string braid group over some orbifold. Applying the same techniques, we show that this latter group has an outer automorphism group of order 2. Finally, we determine the automorphism groups of all Artin groups or rank 2.

研究动机与目标

• 通过将Artin群 $A(B_n)$ 和 $A(D_n)$ 表示为包含braid群 $\mathcal{B}_n$ 的半直积，来理解其内部结构。
• 通过正则轨道空间在 $N(A_{n-1})$ 上的纤维化，解释这些半直积结构的几何起源。
• 确定Artin群 $A(B_n)$ 和 $A(D_n)$ 的外自同构群，特别是 $\mathrm{Out}(A(B_n), F)$ 和 $\mathrm{Out}(A(D_n), F)$ 的大小。
• 计算秩为 2 的Artin群的完整自同构群，特别是类型 $B_2$ 和 $D_2$ 的情况。
• 将braid群自同构的技巧推广至相关群，包括与 $D_n$ 关联的轨道空间braid群。

提出的方法

• 将 $A(B_n)$ 和 $A(D_n)$ 表示为半直积 $F \rtimes \mathcal{B}_n$，其中 $F$ 为自由群，$\mathcal{B}_n$ 通过经典单值作用作用于 $F$。
• 利用正则轨道空间 $N(B_n)$ 和 $N(D_n)$ 在 $N(A_{n-1})$ 上的拓扑纤维化，推导出半直积分解。
• 通过证明 $\mathcal{B}_n$ 对 $F$ 的作用对应于 $B_n$ 的Artin经典表示，以及 $D_n$ 的Milnor纤维上的单值作用，分析该作用。
• 应用涉及共轭类和中心元素的群论技术，对自同构进行分类（模内自同构）。
• 将自同构问题约化至商群 $\overline{A} = A / Z(A)$，其中 $Z(A)$ 为Artin群的中心。
• 利用秩-2 Artin群在 $a, b$ 下的表示，关系为 $a^m = b^2$（当 $m$ 为奇数时）或 $a^k b = b a^k$（当 $m$ 为偶数时），通过在 $\overline{A}$ 上的诱导映射分析自同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将类型为 $B_n$ 和 $D_n$ 的Artin群分解为包含braid群 $\mathcal{B}_n$ 的半直积？
• RQ2 在 $A(B_n)$ 和 $A(D_n)$ 中，半直积结构的几何或拓扑起源是什么？
• RQ3 外自同构群 $\mathrm{Out}(A(B_n), F)$ 的大小是多少，其中 $F$ 为正规自由子群？
• RQ4 外自同构群 $\mathrm{Out}(A(D_n), F)$ 的大小是多少，其大小如何依赖于 $n$ 的奇偶性？
• RQ5 类型为 $B_2$ 和 $D_2$ 的秩-2 Artin群的完整自同构群是什么？

主要发现

• Artin群 $A(B_n)$ 具有半直积分解 $F \rtimes \mathcal{B}_n$，其中 $F$ 为秩 $n-1$ 的自由群，且 $\mathcal{B}_n$ 对 $F$ 的作用为Artin的经典表示。
• Artin群 $A(D_n)$ 同样具有半直积结构 $F \rtimes \mathcal{B}_n$，其作用源于 $A_{n-1}$-型奇点的Milnor纤维上的单值作用。
• 外自同构群 $\mathrm{Out}(A(B_n), F)$ 的阶为 2，意味着仅有两个自同构在模内自同构下保持正规子群 $F$ 不变。
• 对于 $A(D_n)$，外自同构群 $\mathrm{Out}(A(D_n), F)$ 的阶为 4（当 $n$ 为偶数时）或 2（当 $n$ 为奇数时）。
• 在模去内自同构后，类型为 $B_2$ 的秩-2 Artin群的自同构群是平凡的，这由证明仅恒等自同构满足所需条件得出。
• 与 $D_n$ 关联的轨道空间braid群的外自同构群阶为 2，该结果被推广至相关群结构。