[论文解读] As Easy as $\mathbb Q$: Hilbert's Tenth Problem for Subrings of the Rationals and Number Fields

Kirsten Eisentraeger, Russell Miller+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2016

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文构造了可计算表示的子环 $ R \subseteq \mathbb{Q} $ 以及数域的子环 $ \mathcal{O}_{K,\mathscr{S}} $，使得希尔伯特第十问题在 $ R $ 上的版本 $ \operatorname{HTP}(R) $ 与 $ \operatorname{HTP}(\mathbb{Q}) $ 图灵等价。该研究通过选取具有指定下自然密度（包括 0 和任意可计算的 $ r \in [0,1] $）的素数集合 $ \mathscr{S} $ 实现这一目标，确保 $ \operatorname{HTP}(R) \equiv_T \operatorname{HTP}(\mathbb{Q}) $，并将这些结果推广至数域，表明 $ \operatorname{HTP}(\mathcal{O}_{K,\mathscr{S}}) \equiv_T \operatorname{HTP}(K) \leq_T \operatorname{HTP}(\mathbb{Q}) $。该工作构建了一个丰富的环层级，其不可判定性程度与 $ \mathbb{Q} $ 相同。

ABSTRACT

Hilbert's Tenth Problem over the field $\mathbb Q$ of rational numbers is one of the biggest open problems in the area of undecidability in number theory. In this paper we construct new, computably presentable subrings $R$ of $\mathbb Q$ having the property that Hilbert's Tenth Problem for $R$, denoted $HTP(R)$, is Turing equivalent to $HTP(\mathbb Q)$. We are able to put several additional constraints on the rings $R$ that we construct. Given any computable nonnegative real number $r \leq 1$ we construct such a ring $R = Z[\frac1p : p \in S]$ with $S$ a set of primes of lower density $r$. We also construct examples of rings $R$ for which deciding membership in $R$ is Turing equivalent to deciding $HTP(R)$ and also equivalent to deciding $HTP(\mathbb Q)$. Alternatively, we can make $HTP(R)$ have arbitrary computably enumerable degree above $HTP(\mathbb Q)$. Finally, we show that the same can be done for subrings of number fields and their prime ideals.

研究动机与目标

• 研究希尔伯特第十问题（$ \mathrm{HTP} $）在 $ \mathbb{Q} $ 的子环及数域上的计算复杂度，特别是与尚未解决的 $ \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $ 可判定性问题的关系。
• 构造子环 $ R = \mathbb{Z}[\mathscr{S}^{-1}] \subseteq \mathbb{Q} $，使得 $ \mathrm{HTP}(R) \equiv_T \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $，即使 $ \mathscr{S} $ 是无限且 co-无限的。
• 将这些构造扩展到数域中整数环在素数集上的局部化，展示类似的图灵等价结果。
• 证明 $ \mathrm{HTP}(R) $ 的复杂度可通过素数集 $ \mathscr{S} $ 的密度进行调节，包括实现下密度为 0 或任意可计算的 $ r \in [0,1] $。
• 探讨 $ R $ 中的成员资格、$ \mathrm{HTP}(R) $ 和 $ \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $ 之间的相互作用，展示三者全部图灵等价的情形。

提出的方法

• 通过反转一个可计算枚举（c.e.）素数集 $ \mathscr{S} $ 构造子环 $ R = \mathbb{Z}[\mathscr{S}^{-1}] \subseteq \mathbb{Q} $，其中 $ \mathscr{S} $ 的下自然密度被指定。
• 利用丢番图定义与模型理论，特别是罗宾逊和彭东的成果，将 $ \mathrm{HTP}(R) $ 的不可判定性与 $ \mathbb{Q} $ 的不可判定性联系起来。
• 应用图灵约化比较 $ \mathrm{HTP}(R) $ 与 $ \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $，通过预言机构造和约化证明 $ \mathrm{HTP}(R) \equiv_T \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $。
• 将框架扩展至数域 $ K $，定义 $ \mathcal{O}_{K,\mathscr{S}} $ 为 $ \mathscr{S} $-整数环，并使用类似的密度与约化论证分析 $ \mathrm{HTP}(\mathcal{O}_{K,\mathscr{S}}) $。
• 证明对于任意可计算实数 $ r \in [0,1] $，存在一个 $ K $-素数的 c.e. 集 $ \mathscr{S} $，其下密度为 $ r $，使得 $ \mathrm{HTP}(\mathcal{O}_{K,\mathscr{S}}) \equiv_T \mathrm{HTP}(K) \leq_T \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $。
• 证明所有 $ K $-素数可被划分为有限或无限多个两两不相交的 c.e. 集 $ \mathscr{S}_i $，每个的上密度为 1，使得对每个 $ i $，有 $ \mathrm{HTP}(\mathcal{O}_{K,\mathscr{S}_i}) \equiv_T \mathrm{HTP}(K) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造子环 $ R \subseteq \mathbb{Q} $，使得 $ \mathrm{HTP}(R) \equiv_T \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $，即使 $ R $ 本身不是 $ \mathbb{Q} $？
• RQ2 反转素数集 $ \mathscr{S} $ 的密度与 $ \mathrm{HTP}(\mathbb{Z}[\mathscr{S}^{-1}]) $ 的计算复杂度之间有何关系？
• RQ3 此类环的构造能否扩展到数域中的整数环？类似的图灵等价结果是否仍然成立？
• RQ4 是否可能使 $ R $ 中的成员资格、$ \mathrm{HTP}(R) $ 和 $ \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $ 全部图灵等价？
• RQ5 是否可以将 $ \mathrm{HTP}(R) $ 的复杂度提高到超过 $ \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $ 的任意程度，或者能否将其调节至任意 c.e. 度？

主要发现

• 对于每个可计算实数 $ r \in [0,1] $，存在一个有理素数的可计算枚举集 $ \mathscr{S} $，其下密度为 $ r $，使得 $ \mathrm{HTP}(\mathbb{Z}[\mathscr{S}^{-1}]) \equiv_T \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $。
• 存在子环 $ R = \mathbb{Z}[\mathscr{S}^{-1}] \subseteq \mathbb{Q} $，其中 $ \mathscr{S} $ 的下密度为 0，使得 $ \mathrm{HTP}(R) \equiv_T \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $，且 $ R $ 中的成员资格也与 $ \mathrm{HTP}(R) $ 图灵等价。
• 对于任意可计算枚举集 $ B \subset \mathbb{Z}_{>0} $ 满足 $ \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) \leq_T B $，存在一个环 $ R = \mathbb{Z}[\mathscr{S}^{-1}] $，其中 $ \mathscr{S} $ 的下密度为 0，使得 $ \mathrm{HTP}(R) \equiv_T B $，从而实现 $ \mathrm{HTP}(R) \equiv_T \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $。
• 数域 $ K $ 中的所有 $ K $-素数可被划分为有限个两两不相交的 c.e. 集 $ \mathscr{S}_1, \dots, \mathscr{S}_m $，每个的上密度为 1，使得对每个 $ i $，有 $ \mathrm{HTP}(\mathcal{O}_{K,\mathscr{S}_i}) \equiv_T \mathrm{HTP}(K) \leq_T \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $。
• 存在无穷多个两两不相交的 $ K $-素数 c.e. 集 $ \mathscr{S}_1, \mathscr{S}_2, \dots $，每个的下密度为 0，使得 $ \bigcup_j \mathscr{S}_j $ 是 $ K $-素数的全集，且对所有 $ j $，有 $ \mathrm{HTP}(\mathcal{O}_{K,\mathscr{S}_j}) \equiv_T \mathrm{HTP}(K) $。
• 对于任意数域 $ K $，存在一个 $ K $-素数的 c.e. 集 $ \mathscr{W} $，其下密度为 0，使得 $ \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) \geq_T \mathrm{HTP}(K) \equiv_T \mathrm{HTP}(\mathcal{O}_{K,\mathscr{W}}) $。