[论文解读] As you like it: Localization via paired comparisons

Andrew K. Massimino, Mark A. Davenport|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2018

Distributed Sensor Networks and Detection Algorithms参考文献 43被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种在随机化地标点模型下，利用二元配对比较（'x 比 q 更接近 p'）来定位欧氏空间中某一点的方法。研究证明，在误差 ε 范围内估计目标向量 $\mathbf{x}$ 所需的比较次数约为 $ nR/\epsilon $，且对噪声具有鲁棒性，并可通过自适应选择比较对实现显著性能提升。

ABSTRACT

Suppose that we wish to estimate a vector $\mathbf{x}$ from a set of binary paired comparisons of the form "$\mathbf{x}$ is closer to $\mathbf{p}$ than to $\mathbf{q}$" for various choices of vectors $\mathbf{p}$ and $\mathbf{q}$. The problem of estimating $\mathbf{x}$ from this type of observation arises in a variety of contexts, including nonmetric multidimensional scaling, "unfolding," and ranking problems, often because it provides a powerful and flexible model of preference. We describe theoretical bounds for how well we can expect to estimate $\mathbf{x}$ under a randomized model for $\mathbf{p}$ and $\mathbf{q}$. We also present results for the case where the comparisons are noisy and subject to some degree of error. Additionally, we show that under a randomized model for $\mathbf{p}$ and $\mathbf{q}$, a suitable number of binary paired comparisons yield a stable embedding of the space of target vectors. Finally, we also show that we can achieve significant gains by adaptively changing the distribution for choosing $\mathbf{p}$ and $\mathbf{q}$.

研究动机与目标

• 通过仅使用已知地标点之间距离的二元配对比较，估计用户在特征空间中的理想点 $\mathbf{x}$。
• 在随机化模型下，确定实现准确定位所需的最少比较次数。
• 分析在实际场景中比较数据存在噪声或错误时的鲁棒性。
• 研究自适应选择比较对是否相比非自适应采样能显著提升估计精度。
• 在高维空间中，为稳定嵌入和定位精度建立理论保证。

提出的方法

• 将用户的理想点 $\mathbf{x}$ 建模为 $\mathbb{R}^n$ 中的点，观测数据为二元比较：$\|\mathbf{x} - \mathbf{p}_i\| < \|\mathbf{x} - \mathbf{q}_i\|$。
• 采用随机化模型，其中地标点 $\mathbf{p}_i, \mathbf{q}_i$ 独立同分布地从方差为 $\sigma^2$ 的球面对称高斯分布中抽取。
• 将定位问题表述为一个凸优化问题，即在由比较结果导出的约束下最小化 $\mathbf{x}$ 的 $\ell_2$-范数。
• 在随机化模型下，利用测度集中和随机矩阵理论，建立估计误差的理论界。
• 提出一种自适应策略，根据 $\mathbf{x}$ 的中间估计结果，重新中心化并重新缩放比较对的分布，从而提升精度。
• 通过注入噪声（高斯、逻辑、均匀分布及对抗性误差）到比较过程中，并测量由此产生的估计误差，评估其鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在地标点的随机化模型下，需要多少次配对比较才能使 $\mathbf{x}$ 的估计误差在 $\epsilon$ 以内？
• RQ2 估计误差如何随维度 $n$、目标范数 $R$ 和期望精度 $\epsilon$ 变化？
• RQ3 比较数据中的噪声或错误对定位精度有何影响？
• RQ4 与非自适应采样相比，自适应选择比较对是否能显著提升估计性能？
• RQ5 由比较超平面所定义的空间中，$\mathbf{x}$ 的嵌入在理论上具有何种稳定性？

主要发现

• 在随机化模型下，$\widetilde{O}(nR/\epsilon)$ 次配对比较足以在 $\epsilon$ 误差范围内估计 $\mathbf{x}$，仅存在对数因子差异。
• 该方法接近最优，因为任何比较方案都无法在均匀误差界下保证比 $\Omega(nR/\epsilon)$ 更少的比较次数。
• 在多种噪声模型下（包括高斯、逻辑及预量化噪声），估计器保持稳定且具有鲁棒性，估计误差随噪声方差平滑增加。
• 当可用比较次数足够时，通过基于中间估计结果更新 $\mathbf{p}_i, \mathbf{q}_i$ 分布的自适应比较选择策略，相比非自适应采样可实现指数级精度提升。
• 即使在固定有限的项目集合中，通过拒绝采样或二元缩放等方法从数据集中进行自适应选择，其性能也显著优于非自适应采样，实验结果基于 $\mathbb{R}^3$ 中的 10,000 个项目验证。
• 在对抗性环境中，当最远的比较被反转时，该方法仍能保持合理性能，尽管误差随被污染比较数量的增加而上升。