[论文解读] ASEP(q,j) converges to the KPZ equation

Ivan Corwin, Hao Shen+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2016

Random Matrices and Applications参考文献 26被引用 16

一句话总结

本文证明了在弱不对称性标度下，广义的非对称排斥过程 ASEP(q,j) 收敛于 KPZ 方程的 Cole-Hopf 解。通过标度极限方法，作者证明了 ASEP(q,j) 的高度函数收敛于 KPZ 方程的解，证实了非平衡统计力学中长期存在的一个猜想，并将可积粒子系统与随机偏微分方程联系起来。

ABSTRACT

We show that a generalized Asymmetric Exclusion Process called ASEP(q,j) introduced by Carinci, Giardina, Redig and Sasamoto converges to the Cole-Hopf solution to the KPZ equation under weak asymmetry scaling.

研究动机与目标

• 在弱不对称性标度下，建立广义 ASEP(q,j) 过程收敛于 KPZ 方程的证明。
• 将可积随机粒子系统与 KPZ 方程——非平衡统计力学中的基础模型——联系起来。
• 确认 KPZ 方程作为 ASEP(q,j) 的标度极限的普遍性，扩展了先前对更简单排斥过程的结果。
• 为从微观随机动力学中出现 KPZ 方程提供严格的数学框架。

提出的方法

• 对 ASEP(q,j) 过程应用弱不对称性标度，其中不对称性参数随系统规模增大而趋于零。
• 使用 Cole-Hopf 变换将 ASEP(q,j) 的高度函数与随机热方程的解联系起来。
• 采用鞅方法和紧致性论证，证明高度函数收敛于 KPZ 方程的解。
• 分析 ASEP(q,j) 的生成元，并在弱不对称性标度下推导其流体极限。
• 利用 ASEP 在简单情形下收敛于 KPZ 方程的已知结果，将证明扩展至广义的 ASEP(q,j) 模型。
• 使用随机分析与可积概率中的工具，建立矩界并证明高度涨落的依分布收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弱不对称性标度下，广义 ASEP(q,j) 过程是否收敛于 KPZ 方程？
• RQ2 在弱不对称性下，随着系统规模增大，ASEP(q,j) 的高度函数的极限行为是什么？
• RQ3 KPZ 方程的 Cole-Hopf 解如何从 ASEP(q,j) 的微观动力学中涌现？
• RQ4 是否可以为包括一般 j 和 q 在内的 ASEP(q,j) 全类过程建立收敛于 KPZ 方程的结果？

主要发现

• 在弱不对称性标度下，ASEP(q,j) 的高度函数依分布收敛于 KPZ 方程的 Cole-Hopf 解。
• 该收敛性对一般参数 q 和 j 成立，将先前结果扩展至 ASEP(q,j) 过程的完整类。
• 极限随机偏微分方程为带有空间-时间白噪声的 KPZ 方程，证实了其在该类系统中的普遍性。
• 该证明依赖于高度涨落的紧致性以及相关鞅问题收敛于 KPZ 方程。