[论文解读] Aspects of Enumerative Geometry with Quadratic Forms

Marc Levine|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 41被引用 18

一句话总结

本文在特征不为2的域k上发展了一种改进的解析几何，利用 motivic 稳定同伦范畴定义了取值于格罗滕迪克-维尔特群 GW(k) 的欧拉特征，从而改进了经典的整数取值不变量。本文证明了 Chow-Witt 欧拉类与范畴欧拉特征在 GW(k) 中一致，并将其应用于计算广义费马超曲面与二次超曲面的欧拉特征，得到了 GW(k) 中的显式公式，改进了经典公式，并回答了 Kass 与 Wickelgren 关于二次超曲面的提问。

ABSTRACT

Using the motivic stable homotopy category over a field $k$, a smooth variety $X$ over $k$ has an Euler characteristic $\chi(X/k)$ in the Grothendieck-Witt ring $\operatorname{GW}(k)$. The rank of $\chi(X/k)$ is the classical $\mathbb Z$-valued Euler characteristic, defined using singular cohomology or \'etale cohomology, and the signature of $\chi(X/k)$ under a real embedding $\sigma:k o \mathbb R$ gives the topological Euler characteristic of the real points $X^\sigma(\mathbb R)$. We develop tools to compute $\chi(X/k)$, assuming $k$ has characteristic $ eq2$ and apply these to refine some classical formulas in enumerative geometry, such as formulas for the top Chern class of the dual, symmetric powers and tensor products of bundles, to identities for the Euler classes in Chow-Witt groups. We also refine the classical Riemann-Hurwitz formula to an identity in $\operatorname{GW}(k)$ and compute $\chi(X/k)$ for hypersurfaces in $\mathbb P^{n+1}_k$ defined by a polynomial of the form $\sum_{i=0}^{n+1}a_iX_i^m$; this latter includes the case of an arbitrary quadric hypersurface. This paper is a revision of "Toward an enumerative geometry with quadratic forms'' [M. Levine, Toward an enumerative geometry with quadratic forms, preprint 18 Oct 2018, arXiv:1703.03049v3].

研究动机与目标

• 在特征 ≠ 2 的域上发展改进的解析几何，其不变量取值于格罗滕迪克-维尔特群 GW(k)，扩展经典整数取值不变量。
• 在 GW(k) 中建立 Chow-Witt 欧拉特征与范畴欧拉特征的等价性，统一 motivic 欧拉特征的两种方法。
• 在 GW(k) 中计算广义费马超曲面与二次超曲面的欧拉特征，提供改进经典公式的显式公式。
• 回答 Kass 与 Wickelgren 提出的关于非奇异二次超曲面的 GW(k)-取值欧拉特征的问题。

提出的方法

• 利用 motivic 稳定同伦范畴 SH(k) 定义范畴欧拉特征 χ(X/k) ∈ GW(k)，借助 Morel 对 EndSH(k)(Sk) 与 GW(k) 的识别。
• 应用 Chow-Witt 上同调理论 H∗(X, KMW∗(L))，针对扭曲的米尔诺-维尔特 K-理论层，定义 Chow-Witt 欧拉类 eCW(TX) ∈ HdimX(X, KMWdimX(ωX/k))。
• 通过与厄米特 K-理论的比较，基于 [29] 与 Raksit 的结果，建立 χCW(X/k) = χ(X/k) 在 GW(k) 中的等式。
• 在 GW(k) 中应用 Riemann-Hurwitz 公式于态射 f: X → P1，通过在 GW(k(x)) 中计算临界点贡献的局部指标，并通过迹映射上推。
• 使用爆破技巧与退化公式，特别是针对由 ∑ aiXim = 0 定义的超曲面，将 χ( ˜X) 与 χ(X) 和 χ(Z) 关联，其中 Z 为奇点集。
• 通过迹形式 p∗: GW(k(x)) → GW(k) 应用上推，计算全局不变量，尤其适用于有限可分扩张 k(x)/k。

实验结果

研究问题

• RQ1 光滑射影簇的 Chow-Witt 欧拉特征是否与 GW(k) 中的范畴欧拉特征一致？
• RQ2 经典解析公式（如陈类、对偶丛与对称幂）能否被改进为 GW(k) 中的恒等式？
• RQ3 由 ∑ aiXim = 0 定义的广义费马超曲面的 GW(k)-取值欧拉特征是什么？
• RQ4 在 Pn+1k 中非奇异二次超曲面的 GW(k)-取值欧拉特征是什么？它是否改进了经典公式？
• RQ5 在 k 上的奇数维光滑射影簇的欧拉特征是否总属于 GW(k) 的双曲理想？

主要发现

• Chow-Witt 欧拉特征 χCW(X/k) 与范畴欧拉特征 χ(X/k) 在 GW(k) 中相等，如定理 1 所示，并经 [29] 确认。
• 对于广义费马超曲面 X = X(a0,…,an+1; m) ⊂ Pn+1k，其中 m ≥ 1 且 char(k) ∤ 2m，欧拉特征 χ(X/k) 在 GW(k) 中有显式公式，取决于 n 与 m 的奇偶性。
• 当 n 为奇数时，χ(X/k) = An,m · H，其中 An,m = 1/2 deg(cn(TX)) ∈ ℤ。
• 当 n 为偶数且 m 为奇数时，χ(X/k) = An,m · H + ⟨m⟩，其中 An,m = 1/2 (deg(cn(TX)) − 1) ∈ ℤ。
• 当 n 与 m 均为偶数时，χ(X/k) = An,m · H + ⟨m⟩ + ⟨−mδ(X)⟩，其中 An,m = 1/2 (deg(cn(TX)) − 2) ∈ ℤ，δ(X) = ∏ ai。
• 对于 Pn+1k 中的非奇异二次超曲面 Q，其判别式为 δq，有 χ(Q/k) = (n+1)/2 · H（当 n 为奇数），或 n/2 · H + ⟨2⟩ + ⟨−2δq⟩（当 n 为偶数），回答了 Kass 与 Wickelgren 的问题。