[论文解读] Aspects of Perturbation theory in Quantum Mechanics: The BenderWu Mathematica package

Tin Sulejmanpašić, Mithat Ünsal|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2016

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 25被引用 11

一句话总结

本文介紹了 BenderWu Mathematica 軟體包，這是一種符號計算工具，可實現在一維量子力學系統中對任意局部諧振勢的高階微擾計算。透過推廣 Bender-Wu 方法，該工具推導出能量與波函數修正的精確遞迴關係，使在標準電腦上高效計算至 250 階微擾成為可能，應用於重整化理論與非微擾物理的提取。

ABSTRACT

We discuss a general setup which allows the study of the perturbation theory of an arbitrary, locally harmonic 1D quantum mechanical potential as well as its multi-variable (many-body) generalization. The latter may form a prototype for regularized quantum field theory. We first generalize the method of Bender-Wu, and derive exact recursion relations which allow the determination of the perturbative wave-function and energy corrections to an arbitrary order, at least in principle. For 1D systems, we implement these equations in an easy to use Mathematica package we call BenderWu. Our package enables quick home-computer computation of high orders of perturbation theory (about 100 orders in 10-30 seconds, and 250 orders in 1-2h) and enables practical study of a large class of problems in Quantum Mechanics. We have two hopes concerning the BenderWu package. One is that due to resurgence, large amount of non-perturbative information, such as non-perturbative energies and wave-functions (e.g. WKB wave functions), can in principle be extracted from the perturbative data. We also hope that the package may be used as a teaching tool, providing an effective bridge between perturbation theory and non-perturbative physics in textbooks. Finally, we show that for the multi-variable case, the recursion relation acquires a geometric character, and has a structure which allows easy parallelization to computer clusters.

研究动机与目标

• 開發一個可推廣的框架，用於計算一維量子力學系統中任意局部諧振勢的高階微擾修正。
• 將 Bender-Wu 方法推廣至非諧振子以外的廣泛勢能類型，包括多變數（多體）推廣。
• 實現一個實用且易於使用的 Mathematica 軟體包，使在標準電腦上能以符號方式、高精度計算至 250 階的微擾展開。
• 透過從微擾資料中提取非微擾資訊（如 WKB 波函數），促進對重整化結構的研究。
• 作為教育工具，促進微擾與非微擾量子力學之間的橋樑作用。

提出的方法

• 透過以無量綱耦合參數 $ g = \sqrt{\hbar / (m\omega a^2)} $ 對勢能在諧振最小點附近展開，將 Bender-Wu 方法推廣至任意局部諧振一維勢。
• 基於 Rayleigh-Schrödinger 微擾理論框架，推導出能量與波函數修正在任意階次的精確遞迴方程。
• 在 Mathematica 中實現符號計算，以確保結果完全精確且無數值誤差，支援勢能中任意符號參數。
• 在多變數情況下引入幾何結構，使計算可在電腦叢集上實現並行化，提升可擴展性。
• 使用厄米多項式與相互作用勢的矩陣元，將波函數修正表示為中間態的總和。
• 應用數學歸納法與遞迴關係，嚴謹證明在每階微擾次數 $ l $ 時達到的最大諧振子量子數 $ K_l $，確認 $ \nu + (L+2)\lfloor l/L \rfloor + (l \mod L) $ 的尺度法則。

实验结果

研究问题

• RQ1 Bender-Wu 方法如何能推廣至非諧振子以外的任意局部諧振一維量子勢？
• RQ2 允許高階計算能量與波函數修正的微擾遞迴關係具有何種結構？
• RQ3 能否開發出實用的符號計算軟體包，以在標準硬體上高效計算至 250 階的微擾展開？
• RQ4 透過重整化方法，從高階微擾資料中能多大程度提取非微擾物理（如 WKB 波函數）？
• RQ5 該方法的多變數推廣如何獲得有利於在電腦叢集上並行化的幾何結構？

主要发现

• BenderWu 軟體包在標準家用電腦上，使用符號計算，可在 10–30 秒內計算至 100 階，在 1–2 小時內計算至 250 階。
• 在階次 $ l $ 時，波函數展開中達到的最大諧振子量子數 $ K_l $ 為 $ \nu + (L+2)\lfloor l/L \rfloor + (l \mod L) $，其中 $ L $ 為勢能展開中最低的非二次項。
• 修正僅在階次 $ g^L $ 開始，於 $ l = L $ 時 $ K_l = \nu + L + 2 $，且更高階次遵循可預測的遞迴模式。
• 多變數情況下，遞迴關係的推廣獲得幾何結構，有利於在電腦叢集上實現高效並行化。
• 該軟體包可透過重整化方法，從微擾資料中提取非微擾資訊（如 WKB 波函數），展現微擾與非微擾物理之間的深刻聯繫。
• 符號計算的性質確保結果完全精確且無數值誤差，且勢能可依賴任意符號參數，使微擾理論的參數化研究成為可能。