[论文解读] Aspects of work

Peter Talkner, Peter Hänggi|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2015

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用 4

一句话总结

本文通过对比不同测量方案下的量子功的操作定义——投影能量测量、高斯指针测量以及单个广义功计测量——展示了功的统计特性对测量后作用的敏感依赖性。关键结果表明，在强测量极限下，投影两次能量测量的统计特性被恢复；而在弱测量极限下，功的平均值趋近于未受扰动的值，但其涨落发散。

ABSTRACT

Various approaches of defining and determining work performed on a quantum system are compared. Any operational definition of work, however, must allow for two facts, first, that work characterizes a process rather than an instantaneous state of a system, and, second, that quantum systems are sensitive to the interactions with a measurement apparatus. We compare different measurement scenarios on the basis of the resulting post-measurement states and the according probabilities for finding a particular work value. In particular, we analyze a recently proposed work-meter for the case of a Gaussian pointer state and compare it with the results obtained by two projective and, alternatively, two Gaussian measurements. In the limit of a strong effective measurement strength the work distribution of projective two energy measurements can be recovered. In the opposite limit the average of work becomes independent of any measurement. Yet the fluctuations about this value diverge. The performance of the work-meter is illustrated by the example of a spin in a suddenly changing magnetic field.

研究动机与目标

• 澄清量子系统中功的操作定义，其中功表征一个过程而非一个态。
• 解决量子测量后作用改变系统动力学并因此影响功结果的挑战。
• 比较三种基于测量的功方法：两次投影能量测量、两次高斯指针测量以及单个广义功计测量。
• 分析测量不精确性和初始系统相干性对功统计和分布的影响。
• 确定在何种条件下如Jarzynski和Crooks的涨落定理在非投影测量中仍保持有效。

提出的方法

• 以两次能量测量方法为基准，即在初始和最终时刻进行投影能量测量，通过能量差获得功的值。
• 应用高斯指针模型，其中系统哈密顿量通过相互作用强度 $ g $ 和持续时间 $ \tau_p $ 与指针耦合，初始指针态由方差 $ \langle X^2 \rangle $ 描述。
• 引入有效测量强度 $ \sigma^2_e = \langle X^2 \rangle / \kappa^2 $，其中 $ \kappa = g\tau_p $，以量化测量精度。
• 通过第二个类似方差的参数 $ \sigma^2_{\text{nd}} = \hbar^2 / (\langle P^2 \rangle \kappa) $ 分析初始密度矩阵的非对角元，该参数导致功峰的移动与展宽。
• 推导每种方案的功概率分布（pdf），并与渐近极限进行比较。
• 以磁场突然变化的自旋为具体实例，说明不同测量制度下功分布的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 不同的测量策略——投影、高斯和广义功计——在量子系统中如何产生不同的功统计特性？
• RQ2 测量后作用和指针态方差在塑造功分布中起什么作用？
• RQ3 在何种条件下，功计方法能恢复投影两次能量测量的结果？
• RQ4 初始密度矩阵的非对角元如何影响非投影测量中的功分布？
• RQ5 当使用非投影测量时，Jarzynski和Crooks等涨落定理在多大程度上仍保持有效？

主要发现

• 在有效测量强度较强（$ \sigma^2_e \to 0 $）的极限下，高斯指针和功计方法的功分布收敛至投影两次能量测量方法的尖锐峰。
• 在弱测量极限（$ \sigma^2_e \gg \langle w \rangle^2 $）下，平均功值趋近于未受扰动的功 $ \langle w \rangle $，但因测量不精确性导致涨落发散。
• 初始密度矩阵的非对角元通过 $ \sigma^2_{\text{nd}} $ 的影响导致功分布峰的展宽与移动，且当 $ \sigma^2_e $ 较小时该影响被抑制。
• 不等式 $ \sigma^2_{\text{nd}} \lesssim \sigma^2_e $ 限制了相干性的影响力；若该不等式被违反，则导致显著展宽和分辨率丧失。
• 当 $ \sigma^2_e $ 足够大时，渐近高斯功pdf（公式54）与精确分布（公式65）高度吻合，即使不等式（60）仅被勉强满足。
• 若初始态为系综态，则Jarzynski和Crooks等涨落定理仅在修正形式下成立；初始密度矩阵中存在有限非对角元会破坏该有效性。