[论文解读] Aspherical groups and manifolds with extreme properties

Mark Sapir|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文证明了每个具有递归组合式非退化性的有限生成群，均可嵌入到一个具有有限组合式非退化性的有限表示群中。利用戴维斯的构造方法，这给出了四维闭非退化流形的首个已知例子，其基本群具有无限渐近维数，不能粗等距嵌入到希尔伯特空间中，不满足性质A，且违反带系数的鲍姆-康奈斯猜想——从而解决了几何群论与流形拓扑学中长期悬而未决的开放问题。

ABSTRACT

We prove that every finitely generated group with recursive aspherical presentation embeds into a group with finite aspherical presentation. This and several known facts about groups and manifolds imply that there exists a 4-dimensional closed aspherical manifold $M$ such that the fundamental group $π_1(M)$ coarsely contains an expander, and so it has infinite asymptotic dimension, is not coarsely embeddable into a Hilbert space, and does not satisfy the Baum-Connes conjecture with coefficients. Closed aspherical manifolds with any of these properties were previously unknown.

研究动机与目标

• 解决G. 余关于闭非退化流形的基本群是否可具有无限渐近维数的开放问题。
• 构造闭非退化流形，其基本群不能粗等距嵌入到希尔伯特空间中，且不满足性质A。
• 提供闭非退化流形的首个例子，其基本群在带系数情形下违反鲍姆-康奈斯猜想。
• 通过保持有限非退化性，扩展希格曼嵌入定理，克服此前构造中的主要障碍。

提出的方法

• 使用S-机作为自由群的多重HNN扩张，构造一个具有有限组合式非退化性的有限表示群。
• 设计一种新颖的嵌入构造方法，通过仔细控制范·坎普滕图中的中心结构与带连接，避免出现平凡球面图。
• 应用组合同伦论，证明若原群表示是非退化的，则新表示上的球面图均为平凡图。
• 通过标准子图引入图的规范形式，以证明嵌入的单射性及最终表示的非退化性。
• 应用戴维斯的构造方法，将所得群实现实为四维及以上维闭非退化流形的基本群。
• 利用膨胀图与粗几何理论，推导出基本群的极端几何与分析性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 闭非退化流形的基本群是否可具有无限渐近维数？
• RQ2 是否存在一个闭非退化流形，其基本群不满足G. 余的性质A？
• RQ3 闭非退化流形的基本群是否可违反带系数的鲍姆-康奈斯猜想？
• RQ4 希格曼嵌入定理能否被强化，以保持表示的有限非退化性？
• RQ5 递归表示的群能否在不引入产生非平凡球面图的中心化元素的情况下，嵌入到具有有限非退化表示的有限表示群中？

主要发现

• 每个具有递归组合式非退化性的有限生成群，均可嵌入到一个具有有限组合式非退化性的有限表示群中。
• 存在一个四维闭非退化流形，其基本群粗等距包含一个膨胀图，从而蕴含无限渐近维数。
• 该流形的基本群不能粗等距嵌入到希尔伯特空间中，不满足性质A，且违反带系数的鲍姆-康奈斯猜想。
• 该构造通过使用S-机控制图的拓扑结构，避免了经典希格曼嵌入中的障碍——即中心化元素导致的非平凡球面图。
• 该嵌入是单射的，保持字问题的可解性，且所得群的德恩函数为超指数增长。
• 所构造流形的基本群一般不是亚正规的，但本文建议未来工作可能实现亚正规嵌入。