[论文解读] Assigning a Small Agreeable Set of Indivisible Items to Multiple Players

Warut Suksompong|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2016

Game Theory and Voting Systems参考文献 23被引用 8

一句话总结

本文研究将少量可分割物品分配给多名玩家的问题，其中每位玩家对子集的偏好弱于其补集的任意子集。论文提出了多项式时间算法，针对具有响应性偏好的两名或三名玩家，可找到大小约为总物品数一半的可接受子集，实现对次可加估值下个体福利的2-近似。

ABSTRACT

We consider an assignment problem that has aspects of fair division as well as social choice. In particular, we investigate the problem of assigning a small subset from a set of indivisible items to multiple players so that the chosen subset is \emph{agreeable} to all players, i.e., every player weakly prefers the chosen subset to any subset of its complement. For an arbitrary number of players, we derive tight upper bounds on the size for which a subset of that size that is agreeable to all players always exists when preferences are monotonic. We then present polynomial-time algorithms that find an agreeable subset of approximately half of the items when there are two or three players and preferences are responsive. Our results translate to a 2-approximation on the individual welfare of every player when preferences are subadditive.

研究动机与目标

• 确定在所有玩家均偏好该子集胜过其补集任意子集的前提下，可接受子集的最小大小。
• 为具有响应性偏好的两名或三名玩家，开发高效算法以计算此类可接受子集。
• 在单调性和响应性偏好假设下，分析可接受子集的最坏情况大小，并建立紧致上界。
• 探索仅提供单件物品偏好而非子集偏好的情况下，寻找必然可接受子集的计算复杂性。
• 研究将高效算法扩展至三名以上玩家的可行性，并评估TFNP类中的潜在难解性结果。

提出的方法

• 使用偏好预言机模型来访问玩家对子集的偏好，而无需完整输入表示。
• 应用一种构造性算法，通过比较互补子集之间的偏好关系，选择大小约为总物品数一半的子集。
• 对于三名玩家，该算法基于成对互补集合之间的多数偏好选择子集，通过响应性确保一致性。
• 针对偶数和奇数件物品进行情况分析，当物品数为奇数时采用递归或迭代调整。
• 依赖响应性特性，确保添加或用弱偏好替代品替换物品时，可接受性得以保持。
• 通过利用大小界和偏好一致性，将结果转化为次可加估值下个体福利的2-近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 在偏好为单调性时，是否存在一个保证对所有玩家可接受的子集，其大小最小？
• RQ2 对于具有响应性偏好的两名或三名玩家，能否高效计算出大小约为总物品数一半的可接受子集？
• RQ3 仅使用单件物品偏好时，是否可计算出一个必然可接受的子集？在最坏情况下，此类子集的大小需多大？
• RQ4 对于三名以上玩家，寻找可接受子集的计算复杂性如何？该问题是否属于TFNP的子类（如PPAD或PLS）？
• RQ5 在每方有多名玩家的设定下，能否实现无嫉妒分配，从而扩展现有的单玩家方模型？

主要发现

• 对于任意数量具有单调偏好的玩家，大小不超过 $ \left\lceil \frac{m}{2} \right\rceil + \frac{n-1}{2} $ 的子集始终可接受，且该界是紧致的。
• 对于具有响应性偏好的两名或三名玩家，多项式时间算法可计算出大小不超过 $ \left\lceil \frac{m}{2} \right\rceil + 1 $ 的可接受子集，该大小约为总物品数的一半。
• 当偏好为次可加时，算法实现个体福利的2-近似，即每位玩家至少获得最优分配福利的一半。
• 即使可访问子集偏好，仅使用单件物品偏好时，必然可接受子集可能需要多达五个物品，如六件物品的反例所示。
• 仅使用单件物品偏好计算必然可接受子集的问题，其难度严格高于使用子集偏好的情况，如六件物品和三名玩家的示例所示。
• 在单调性下，解的存在性可保证，但当仅限访问单件物品偏好时，计算挑战出现，可能导致必须包含显著更多的物品。