[论文解读] Assignment Games with Conflicts: Price of Total Anarchy and Convergence Results via Semi-Smoothness

Elliot Anshelevich, John Postl+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2013

Game Theory and Applications参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文引入了存在工作冲突与友谊关系的指派博弈，建模了当工作对被分配至同一台机器时会产生额外成本或收益的交互行为。通过半平滑性（semi-smoothness）——平滑性的一种推广——该文建立了总无政府状态价格的紧致界（接近2），并证明了最佳响应动态的收敛性，为这些博弈中的相关均衡、纳什均衡与强均衡提供了新的效率保证。

ABSTRACT

We study assignment games in which jobs select machines, and in which certain pairs of jobs may conflict, which is to say they may incur an additional cost when they are both assigned to the same machine, beyond that associated with the increase in load. Questions regarding such interactions apply beyond allocating jobs to machines: when people in a social network choose to align themselves with a group or party, they typically do so based upon not only the inherent quality of that group, but also who amongst their friends (or enemies) choose that group as well. We show how semi-smoothness, a recently introduced generalization of smoothness, is necessary to find tight or near-tight bounds on the price of total anarchy, and thus on the quality of correlated and Nash equilibria, for several natural job-assignment games with interacting jobs. For most cases, our bounds on the price of total anarchy are either exactly 2 or approach 2. We also prove new convergence results implied by semi-smoothness for our games. Finally we consider coalitional deviations, and prove results about the existence and quality of Strong equilibrium.

研究动机与目标

• 建模并分析一类指派博弈，其中某些工作对在被分配至同一台机器时会产生额外成本或收益。
• 理解在这些交互约束下均衡的效率，特别是相关均衡、纳什均衡与强均衡的效率。
• 通过引入半平滑性作为必要框架，克服标准平滑性在这些博弈中无法实现紧致界的问题。
• 建立这些交互感知指派博弈中最佳响应动态的收敛速率。

提出的方法

• 通过冲突图与友谊图建模工作指派博弈，以表示工作之间的成对交互。
• 应用半平滑性——一种广义的平滑性概念——推导总无政府状态价格的界。
• 利用混合策略半平滑性，实现对均衡低效性的紧致界，尤其适用于相关均衡与混合纳什均衡。
• 通过半平略性证明最佳响应动态的收敛性结果，建立收敛至近优解的时间界。
• 分析强均衡的存在性与质量，表明在某些情况下强均衡可能不存在，并推导强无政府状态价格的界。
• 将博弈表示为简单博弈（如负载均衡、市场共享、割集博弈）的和，以探索游戏组合下的结构性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在存在工作冲突与友谊的指派博弈中，总无政府状态价格是多少？能否通过半平滑性实现紧致界？
• RQ2 这些博弈中的最佳响应动态如何收敛？其收敛至近优解的速率如何？
• RQ3 这些博弈中是否存在强纳什均衡？其相对于最优解的质量如何？
• RQ4 半平滑性是否能在具有成对工作交互的博弈中提供比标准平滑性更紧致的界？
• RQ5 当通过求和操作组合博弈时，平滑性与均衡效率等性质在多大程度上传递？

主要发现

• 在存在冲突的负载均衡博弈中，总无政府状态价格至多为2，且该界是紧致的。
• 在存在友谊的负载均衡博弈中，总无政府状态价格恰好为 $ 2 - \frac{1}{m} $，且该界也是紧致的。
• 在存在冲突与友谊的负载均衡博弈中，随着机器数量增加，总无政府状态价格趋近于2。
• 在存在友谊的市场共享博弈中，总无政府状态价格的界为 $ m $，且该界是紧致的。
• 最佳响应动态在 $ O\big(\frac{n}{\theta} \\ -\log u(\nolimits^*)\big) $ 步内收敛至 $ \frac{1}{m(1+\theta)} $-近似解，且在对数因子下可获得更优界。
• 在存在友谊的市场共享博弈中，即使 $ m=2 $，强纳什均衡也未必存在，且强无政府状态价格至少为2。