[论文解读] Associate and conjugate minimal immersions in MxR

Laurent Hauswirth, Ricardo Sá Earp+1 more|ArXiv.org|Dec 6, 2005

Holomorphic and Operator Theory参考文献 7被引用 24

一句话总结

本文研究了在乘积空间 $\mathbb{M}\times\mathbb{R}$ 中的关联与共轭极小浸入，其中 $\mathbb{M}$ 为双曲平面 $\mathbb{H}^2$ 或 2-球面 $\mathbb{S}^2$。本文建立了唯一性定理，表明在 $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$ 中的极小共形浸入由其共形度量和霍夫微分唯一确定（至多相差等距变换），并通过魏尔斯特拉斯型表示法证明了关联族的存在性。一个关键结果是，在 $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ 中存在彼此等距但不关联的极小曲面，挑战了经典欧几里得情形下的对应关系。

ABSTRACT

We consider minimal immersions in MxR. We study existence and uniqueness of associate and conjugate isometric immersions to a given minimal surface. We use the theory of univalent harmonic map between surfaces. Then we study the geometry of associate minimal vertical graphs. We prove that an associate surface of a vertical graph on a convex domain is a graph. In the classical theory it is a theorem of R. Krust.

研究动机与目标

• 为一般二维黎曼流形 $\mathbb{M}$ 定义并研究 $\mathbb{M}\times\mathbb{R}$ 中关联极小浸入的概念。
• 在 $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$ 中建立极小共形浸入的唯一性定理，表明共形度量与霍夫微分可唯一确定浸入（至多相差环境等距变换）。
• 探讨 $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$ 中极小曲面关联族的存在性与结构。
• 研究 $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ 中等距极小浸入是否必然为关联浸入，特别是在螺旋运动曲面的背景下。

提出的方法

• 作者通过条件 $Q(h^*) = e^{2i\theta}Q(h)$ 定义关联极小浸入，其中 $Q(h)$ 是调和映射 $h: \Omega \to \mathbb{M}$ 的霍夫微分。
• 他们使用 $\mathbb{M}\times\mathbb{R}$ 中极小曲面的魏尔斯特拉斯表示法，将浸入与调和映射 $h$ 和调和函数 $f$ 联系起来。
• 利用 $\mathbb{M}$ 上的共形度量 $\sigma^2|dz|^2$ 及其在 $\mathbb{M}\times\mathbb{R}$ 上的诱导度量 $\sigma^2|dz|^2 + dt^2$ 来定义环境空间的几何结构。
• 霍夫微分 $Q(h) = (\sigma \circ h)^2 h_w \bar{h}_w (dw)^2$ 是表征共形类型与关联关系的核心。
• 关联族的存在性由一个一般存在性结果（定理 5）推导而来，该结果通过霍夫微分的解析延拓构造了一族单参数的极小浸入。
• 通过螺旋运动不变性构造了具体例子，特别是 $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ 中的双曲与抛物螺旋运动曲面。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ 中，所有等距极小浸入是否如欧几里得情形一样必然为关联浸入？
• RQ2 在一般二维黎曼流形 $\mathbb{M}$ 的 $\mathbb{M}\times\mathbb{R}$ 中，极小浸入的关联族在何种条件下存在？
• RQ3 能否将克鲁斯特定理（即：在凸区域上定义的极小图的关联曲面仍为图）推广到 $\mathbb{M}\times\mathbb{R}$，当 $K_{\mathbb{M}} \leq 0$ 时？
• RQ4 霍夫微分在确定 $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ 中极小浸入的共形类型与关联关系中起什么作用？
• RQ5 是否存在常曲率 $K \equiv -1$ 的极小曲面，其在 $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ 中不与任何其他此类曲面关联？

主要发现

• 在 $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ 中存在常曲率 $K \equiv -1$ 的等距极小曲面，但它们彼此不关联，表明在此设定下经典欧几里得对应关系不成立。
• 在 $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ 中，平面测地线的竖直柱面是唯一具有常曲率 $K \equiv 0$ 的极小曲面。
• 唯一性定理（定理 4）指出：在 $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$ 中的极小共形浸入，由其共形度量与霍夫微分唯一确定（至多相差环境等距变换）。
• 关联族在 $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$ 中存在，由定理 5 与推论 8 证明，该结果提供了此类族的存在性与构造方法。
• 当 $K_{\mathbb{M}} \leq 0$ 时，克鲁斯特定理在 $\mathbb{M}\times\mathbb{R}$ 中成立，但在 $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$ 中不成立，如定理 12 中的反例所示。
• 在 $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ 中存在不关联的等距极小浸入，例如通过双曲螺旋运动构造的完整极小曲面（$K \equiv -1$），其不与标准竖直柱面 $Y(z) = (z,0)$ 关联。