[论文解读] Associative algebras and broken lines

Jacob Lurie, Hiro TANAKA|arXiv (Cornell University)|May 24, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文引入了断裂线的模叠 $Δ\mathsf{Broken}$，作为通过结合代数结构研究莫尔斯理论的几何框架。它证明了在任意紧生成的 $Δ\infty$-范畴中，$Δ\mathsf{Broken}$ 上的可分解层恰好对应于非单位元的 $A_\infty$-代数，为在紧致黎曼流形上实现无方程的莫尔斯复形构造奠定了基础。

ABSTRACT

Inspired by Morse theory, we introduce a topological stack Broken, which we refer to as the moduli stack of broken lines. We show that Broken can be presented as a Lie groupoid with corners and provide a combinatorial description of sheaves on Broken with values in any compactly generated infinity-category C. Moreover, we show that factorizable C-valued sheaves (with respect to a natural semigroup structure on the stack Broken) can be identified with nonunital A-infinity-algebras in C. This is a first step in a program whose goal is to present an `equation-free' construction of the Morse complex associated to a compact Riemannian manifold.

研究动机与目标

• 通过拓扑叠和断裂线发展莫尔斯理论的几何框架。
• 定义并表征断裂线的模叠 $Δ\mathsf{Broken}$ 为具有角的李群胚。
• 对紧生成的 $Δ\infty$-范畴 $Δ{C}$ 值的 $Δ\mathsf{Broken}$ 上的层进行分类。
• 建立 $Δ\mathsf{Broken}$ 上 $Δ{C}$-值可分解层与 $Δ{C}$ 中非单位元的 $A_\infty$-代数之间的对应关系。
• 为在紧致黎曼流形上实现无方程的莫尔斯复形构造奠定基础。

提出的方法

• 将断裂线定义为带有定向 $Δ{R}$-作用且具有有限不动点集的拓扑空间，推广标准直线 $[-∞,\infty]$。
• 将基空间 $S$ 上的断裂线族定义为带有连续 $Δ{R}$-作用和投射映射的拓扑空间，允许退化。
• 将模叠 $Δ\mathsf{Broken}$ 构造为分类此类族的拓扑叠，证明其可由具有角的李群胚表示。
• 通过扭箭头范畴和左凯南扩张，提供 $Δ\mathsf{Broken}$ 上层的组合描述。
• 利用戴恩卷积和非严格层结构，将可分解层与 $A_\infty$-代数结构联系起来。
• 应用同伦不变性与层化技术，证明可分解层与非单位元的 $A_\infty$-代数之间的对应关系为同伦等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将断裂线的模叠构造为具有良好范畴性质和微分几何性质的几何对象？
• RQ2 在紧生成的 $Δ\infty$-范畴 $Δ{C}$ 值下，$Δ\mathsf{Broken}$ 上的层的组合结构是什么？
• RQ3 由断裂线连接给出的 $Δ\mathsf{Broken}$ 上的半群结构如何与 $Δ{C}$ 中的代数结构相关联？
• RQ4 能否以 $A_\infty$-代数等代数对象来分类 $Δ\mathsf{Broken}$ 上的可分解层？
• RQ5 同伦不变性在建立 $Δ\mathsf{Broken}$ 上层论结构与代数结构之间等价关系中起什么作用？

主要发现

• 模叠 $Δ\mathsf{Broken}$ 可由具有角的李群胚表示，为断裂线族提供了良好行为的几何模型。
• $Δ\mathsf{Broken}$ 上取值于紧生成的 $Δ\infty$-范畴 $Δ{C}$ 的层可通过线性序范畴的扭箭头范畴实现组合描述。
• $Δ\mathsf{Broken}$ 上取值于 $Δ{C}$ 的可分解层与 $Δ{C}$ 中的非单位元 $A_\infty$-代数等价，建立了几何与同伦代数之间的深刻联系。
• 可分解层与非单位元 $A_\infty$-代数之间的对应关系通过同伦等价实现，经由层化与预层 $Δ{G}$ 的同伦不变性验证。
• 该证明依赖于：将线性序范畴包含到扭箭头范畴中的限制映射为同伦等价，利用层化保持点上取值的事实。
• 该构造应用于 $S = \mathbf{R}_{\geq 0}$ 上的断裂线族，其中纤维从无断裂线退化为断裂线，展示了该叠捕捉退化现象的能力。