[论文解读] Associative algebras for (logarithmic) twisted modules for a vertex operator algebra

Yi-Zhi Huang, Jinwei Yang|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2016

Algebraic structures and combinatorial models被引用 4

一句话总结

本文为一个具有无限阶且非半单作用的自同构 $g$ 的顶点算子代数 $V$ 构造了两个关联代数——$Z_g(V)$，即 $g$-扭的零模代数，以及 $A_g(V)$，即 Zhu 代数的 $g$-扭推广。该文建立了这两个代数的模与 $g$-扭 $V$-模之间的范畴等价，并证明了 $Z_g(V)$ 与 $A_g(V)$ 同构，从而将 Zhu 的理论推广至对数扭模情形。

ABSTRACT

We construct two associative algebras from a vertex operator algebra $V$ and a general automorphism $g$ of $V$. The first, called $g$-twisted zero-mode algebra, is a subquotient of what we call $g$-twisted universal enveloping algebra of $V$. These algebras are generalizations of the corresponding algebras introduced and studied by Frenkel-Zhu and Nagatomo-Tsuchiya in the (untwisted) case that $g$ is the identity. The other is a generalization of the $g$-twisted version of Zhu's algebra for suitable $g$-twisted modules constructed by Dong-Li-Mason when the order of $g$ is finite. We are mainly interested in $g$-twisted $V$-modules introduced by the first author in the case that $g$ is of infinite order and does not act on $V$ semisimply. In this case, twisted vertex operators in general involve the logarithm of the variable. We construct functors between categories of suitable modules for these associative algebras and categories of suitable (logarithmic) $g$-twisted $V$-modules. Using these functors, we prove that the $g$-twisted zero-mode algebra and the $g$-twisted generalization of Zhu's algebra are in fact isomorphic.

研究动机与目标

• 将 Zhu 的关联代数框架推广至 $g$ 有无限阶且非半单作用时的 $g$-扭模。
• 解决标准 Zhu 代数构造在无限阶情形下失效的挑战。
• 为一般 $g$-扭 $V$-模定义并研究 $g$-扭的普遍包络代数 $U_g(V)$。
• 建立 $g$-扭 $V$-模与 $g$-扭零模代数 $Z_g(V)$ 的模之间的函子等价。
• 证明 $Z_g(V)$、$\tilde{A}_g(V)$ 与 $A_g(V)$ 同构，统一扭表示理论中的关键代数结构。

提出的方法

• 将 $g$-扭的普遍包络代数 $U_g(V)$ 构造为 $V$ 的仿射化张量代数的拓扑完备化，引入 $g$-扭关系。
• 将 $Z_g(V)$ 定义为 $U_g(V)$ 的子商代数，以捕捉 $g$-扭顶点算子的零模作用。
• 将 $A_g(V)$ 定义为 Zhu 代数的 $g$-扭推广，通过 $V$ 的商代数与从顶点算子映射导出的乘积构造。
• 通过诱导模构造 $S_g(M)$，从 $Z_g(V)$-模构造到 $\overline{\mathbb{C}}_+$-分次 $g$-扭 $V$-模的函子。
• 利用零模空间 $\Omega_g(W)$ 与诱导模 $H_g(M)$，从 $g$-扭 $V$-模构造到 $A_g(V)$-模的函子。
• 通过模块函子构造反向同态并验证其复合为恒等映射，证明 $Z_g(V)$、$\tilde{A}_g(V)$ 与 $A_g(V)$ 同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $g$ 有无限阶且非半单作用时，能否为顶点算子代数构造 $g$-扭的普遍包络代数？
• RQ2 是否存在一个明确定义的关联代数结构，可对对数情形下的 $g$-扭 $V$-模进行分类？
• RQ3 能否证明 $g$-扭零模代数 $Z_g(V)$ 同构于 $g$-扭 Zhu 代数 $A_g(V)$？
• RQ4 从 $Z_g(V)$-模到 $g$-扭 $V$-模的函子是否构成范畴等价？
• RQ5 在无限阶与对数情形下，$Z_g(V)$、$\tilde{A}_g(V)$ 与 $A_g(V)$ 之间的同构关系是否推广了 Zhu 与 Frenkel-Zhu 的经典结果？

主要发现

• $g$-扭零模代数 $Z_g(V)$ 同构于 $g$-扭 Zhu 代数 $A_g(V)$，将经典结果推广至对数情形。
• 对 $U_g(V)$ 的构造为最弱类型的 $g$-扭 $V$-模提供了普遍框架，推广了 Frenkel-Zhu 的普遍包络代数。
• 从 $Z_g(V)$-模到 $\overline{\mathbb{C}}_+$-分次 $g$-扭 $V$-模的函子互为拟逆，确立了范畴等价。
• $Z_g(V)$ 的元素恰好为 $[o_g(v)]$ 的形式，其中 $v \in V$，确认零模作用生成了整个代数。
• $Z_g(V)$ 与 $A_g(V)$ 的同构意味着在其中一个代数上证明的结果可立即推广至另一个，统一了扭表示理论中的关键代数结构。
• $\tilde{A}_g(V)$ 同构于 $Z_g(V)$，且其在研究扭互化算子的模形式不变性时更具自然性。