[论文解读] Associative and Lie deformations of Poisson algebras

Elisabeth Remm|arXiv (Cornell University)|May 13, 2011

Advanced Topics in Algebra参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文通過將泊松代數的形變視為滿足 Markl-Remm 恆等式的單一非結合乘法的形變，重新詮釋了泊松代數的形變，將結合形變與李形變統一於同一上同調框架之下。主要貢獻在於識別出泊松上同調為一般形變的控制理論，泊松-Lichnerowicz 上同調與泊松-Hochschild 上同調為其特例，並透過反對稱與對稱導子精確描述了何時一個上鏈在泊松上同調算子下為閉鏈。

ABSTRACT

Considering a Poisson algebra as a non associative algebra satisfying the Markl-Remm identity, we study deformations of Poisson algebras as deformations of this non associative algebra. This gives a natural interpretation of deformations which preserves the underlying associative structure and we study deformations which preserve the underlying Lie algebra.

研究动机与目标

• 透過將泊松代數視為滿足 Markl-Remm 恆等式的單一非結合乘法的形變，提供泊松代數形變的統一框架。
• 在單一形變理論中，將經典的李形變（保持結合乘法）與結合形變（保持李括號）作為特例重新恢復。
• 定義並研究泊松-Hochschild 上同調作為結合形變的參數空間。
• 透過明確的上同調算子與分解公式，釐清泊松上同調、泊松-Lichnerowicz 上同調與泊松-Hochschild 上同調之間的關係。

提出的方法

• 透過 Markl-Remm 恆等式將泊松代數表示為非結合代數，將結合乘法與李括號編碼於單一乘法之中。
• 使用作用於多線性上鏈的上同調算子 δⁿ_P 定義泊松上同調複形，並提供涉及對稱與反對稱部分的明確公式。
• 利用投影算子 Φ_{W_n} 與 Φ_{V_n} 分別將上鏈 φ 分解為其對稱部分 φ_s 與反對稱部分 φ_a。
• 引入算子 L_{1,n} 與 L_{H,n}，以描述反對稱上鏈何時為結合乘法的導子。
• 定義算子 ∇ⁿ 以描述對稱上鏈為李 n-導子，並與泊松上同調算子建立關係：∇ⁿφ_s = 0 若且唯若 δ_Hⁿφ_s = 0。
• 利用恆等式 δ_Pⁿφ = 0 若且唯若 δ_Cⁿφ_a = 0 與 L_{1,n}φ_a = 0，證明閉泊松上鏈對應於相容的導子。

实验结果

研究问题

• RQ1 當結合乘法與李括號均被形變時，如何統一描述泊松代數的形變？
• RQ2 Markl-Remm 恆等式在單一非結合代數結構中，如何統一結合形變與李形變？
• RQ3 泊松-Lichnerowicz 上同調與泊松-Hochschild 上同調如何與完整的泊松上同調相關？
• RQ4 反對稱或對稱多線性上鏈分別在何種條件下為結合乘法或李括號的導子？
• RQ5 上鏈在泊松上同調複形中為閉鏈的精確代數條件為何？

主要发现

• 泊松代數可等價地描述為滿足 Markl-Remm 恆等式的非結合代數，從而實現統一的形變理論。
• 泊松上同調複形控制一般形變，且 δ_Pⁿφ = 0 若且唯若 δ_Cⁿφ_a = 0 與 L_{1,n}φ_a = 0，其中 φ_a 為 φ 的反對稱部分。
• 結合形變由泊松-Hochschild 上同調參數化，且 δ_Hⁿφ_s = 0 若且唯若 ∇ⁿφ_s = 0，表示 φ_s 為李 n-導子。
• 當僅李括號被形變時，泊松-Lichnerowicz 上同調作為特例出現，對應於 δ_Cⁿφ_a = 0 與 L_{1,n}φ_a = 0。
• 上鏈的對稱部分 φ_s 滿足 δ_Hⁿφ_s = 0 若且唯若 ∇ⁿφ_s = 0，表明對稱上鏈的泊松-Hochschild 上同調與泊松上同調一致。
• 完整的泊松上同調由反對稱部分上的 Chevalley-Eilenberg 上同調算子與條件 L_{1,n}φ_a = 0 同時消失所特徵化。