[论文解读] Assouad dimension influences the box and packing dimensions of orthogonal projections

K. J. Falconer, Jonathan M. Fraser+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2019

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一句话总结

该论文证明了Assouad维数（及其相关联的拟-Assouad维数与Assouad谱）控制了正交投影下盒维数与测度维数的保持性。若集合 $F \subseteq \mathbb{R}^n$ 的Assouad维数至多为 $m$，则其在几乎所有 $m$-维子空间上的投影中，盒维数与测度维数均被保持，且对可能出现维度下降的例外投影集合提供了严格的上界。

ABSTRACT

We present several applications of the Assouad dimension, and the related quasi-Assouad dimension and Assouad spectrum, to the box and packing dimensions of orthogonal projections of sets. For example, we show that if the (quasi-)Assouad dimension of $F \\subseteq \ n$ is no greater than $m$, then the box and packing dimensions of $F$ are preserved under orthogonal projections onto almost all $m$-dimensional subspaces. We also show that the threshold $m$ for the (quasi-)Assouad dimension is sharp, and bound the dimension of the exceptional set of projections strictly away from the dimension of the Grassmannian.

研究动机与目标

• 确定集合的盒维数与测度维数在正交投影下保持不变的几何条件。
• 研究Assouad型维数在控制投影中维度下降时的作用。
• 基于Assouad维数、拟-Assouad维数与Assouad谱维数，建立维度保持的严格阈值。
• 量化可能出现维度下降的例外投影集合的大小，将其Hausdorff维数严格控制在Grassmannian维数以下。
• 将已知的Hausdorff维数保持结果推广至盒维数与测度维数，采用维数谱与容量方法。

提出的方法

• 使用维数谱与基于容量的技术，分析盒维数与测度维数在正交投影下的行为。
• 应用上Assouad谱 $\overline{\dim}_{\text{A}}^{\theta}F$ 与拟-Assouad维数 $\dim_{\text{qA}}F$ 作为工具，推导维度保持的阈值。
• 基于dyadic展开构造集合 $X_S$，其数字集合受限，以生成具有可控Assouad维数与盒维数的示例。
• 通过尺度为 $2^{-k}$ 的立方体覆盖，推导投影 $\pi_V F$ 的覆盖估计，结合几何与组合估计。
• 使用Banach密度 $\overline{d}_B(S)$ 控制乘积集 $X_S^n$ 的Assouad维数。
• 利用不等式 $\dim_{\text{H}}\{V : \overline{\dim}_{\text{B}}\pi_V F < \cdots\} \leq m(n-m) - (m-s)$，界定例外投影集合的Hausdorff维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，集合 $F \subseteq \mathbb{R}^n$ 的盒维数与测度维数在投影至 $m$-维子空间时保持不变？
• RQ2 集合 $F$ 的Assouad维数如何影响其投影的维数？$m$ 是否为维度保持的严格阈值？
• RQ3 可能出现维度下降的例外投影集合的最大可能Hausdorff维数是多少？
• RQ4 能否利用Assouad谱或拟-Assouad维数，进一步收紧投影维数的上下界？
• RQ5 在投影定理的背景下，这些结果在多大程度上可从Hausdorff维数推广至盒维数与测度维数？

主要发现

• 若 $\dim_{\text{A}}F \leq m$，则对几乎所有 $V \in G(n,m)$，有 $\overline{\dim}_{\text{B}}\pi_V F = \overline{\dim}_{\text{B}}F$ 且 $\dim_{\text{P}}\pi_V F = \dim_{\text{P}}F$。
• Assouad维数的阈值 $m$ 是严格的：若 $\dim_{\text{A}}F > m$，则典型投影中可能出现维度下降。
• 对于 $s \in (0,m)$，当 $\overline{\dim}_{\text{B}}\pi_V F$ 低于 $\overline{\dim}_{\text{B}}F - \max\{0, \overline{\dim}_{\text{A}}^{\theta}F - s, (\dim_{\text{A}}F - s)(1 - \theta)\}$ 时，例外投影集合的Hausdorff维数至多为 $m(n-m) - (m - s)$。
• 拟-Assouad维数 $\dim_{\text{qA}}F$ 控制维度保持的阈值：若 $\dim_{\text{qA}}F \leq m$，则几乎所有 $m$-维投影下盒维数与测度维数均被保持。
• 由Assouad谱与拟-Assouad维数导出的投影维数上下界在 $s = n$ 的情况下是严格的，与 (1.2) 中已知的上界一致。
• 通过构造集合 $X_S^n$，其中 $\overline{d}(S) = t/n$ 且 $\overline{d}_B(S) = s/n$，可得到满足 $\dim_{\text{P}}F = t$，$\dim_{\text{A}}F = s$，且 $\dim_{\text{B}}\pi_V F \geq d = \frac{mst}{m(s-t) + st}$ 的示例，表明所导出的界是紧致的。