[论文解读] $\ast$-operator frame for $End_{\mathcal{A}}^{\ast}(\mathcal{H})$

Mohamed Rossafi, Samir Kabbaj|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2018

Mathematical Analysis and Transform Methods被引用 7

一句话总结

本文在 $C^\ast$-代数 $\mathcal{A}$ 上的希尔伯特 $C^\ast$-模上引入了 $\ast$-算子框架的概念，通过引入有伴随的算子，推广了 $\ast$-框架。本文建立了 $\ast$-框架算子，并证明了希尔伯特 $C^\ast$-模 $\mathcal{H}$ 和 $\mathcal{K}$ 的 $\ast$-算子框架的张量积构成 $\mathcal{H} \otimes \mathcal{K}$ 上的 $\ast$-算子框架，且该张量积的 $\ast$-框架算子等于各自主 $\ast$-框架算子的张量积。

ABSTRACT

In this paper, a new notion of frames is introduced: $\ast$-operator frame as generalization of $\ast$-frames in Hilbert $C^{\ast}$-modules introduced by A. Alijani and M. A. Dehghan \cite{Ali} and we establish some results.

研究动机与目标

• 通过使用有伴随算子，将希尔伯特 $C^\ast$-模中 $\ast$-框架的概念进行推广。
• 在 $End_{\mathcal{A}}^{\ast}(\mathcal{H})$ 的背景下，定义 $\ast$-算子框架变换和 $\ast$-框架算子。
• 研究希尔伯特 $C^\ast$-模张量积下 $\ast$-算子框架的行为。
• 建立 $\ast$-算子框架的张量积可生成张量积模上的 $\ast$-算子框架。
• 证明张量积框架的 $\ast$-框架算子等于各自主 $\ast$-框架算子的张量积。

提出的方法

• 将 $\ast$-算子框架定义为满足 $A\langle x,x\rangle_{\mathcal{A}}A^* \leq \sum_{i\in I} \langle \Lambda_i x, \Lambda_i x \rangle_{\mathcal{A}} \leq B\langle x,x\rangle_{\mathcal{A}}B^*$ 对所有 $x \in \mathcal{H}$ 成立的算子族 $\{\Lambda_i\}_{i\in I} \subset End_{\mathcal{A}}^{\ast}(\mathcal{H})$，其中 $A, B \in \mathcal{A}^+$ 且严格非零。
• 将 $\ast$-框架算子 $S = \sum_{i\in I} \Lambda_i^* \Lambda_i$ 定义为 $\mathcal{H}$ 上的正定可逆有伴随算子。
• 构造两个希尔伯特 $C^\ast$-模 $\mathcal{H}$ 和 $\mathcal{K}$ 的张量积，并通过标准内积结构赋予其 $\mathcal{H} \otimes \mathcal{K}$ 的结构。
• 定义算子 $\Lambda_i \otimes \Gamma_j$ 的张量积，并证明若 $\{\Lambda_i\}$ 和 $\{\Gamma_j\}$ 分别是 $\mathcal{H}$ 和 $\mathcal{K}$ 上的 $\ast$-算子框架，则 $\{\Lambda_i \otimes \Gamma_j\}$ 构成 $\mathcal{H} \otimes \mathcal{K}$ 上的 $\ast$-算子框架。
• 证明张量积框架的 $\ast$-框架算子为 $S_{\Lambda \otimes \Gamma} = S_\Lambda \otimes S_\Gamma$。
• 应用 $End_{\mathcal{A}}^{\ast}(\mathcal{H})$ 中的可逆算子 $Q$，通过 $\Lambda_i(Q^* \otimes I)$ 变换现有的 $\ast$-算子框架，表明所得族仍为 $\ast$-算子框架，且其边界和算子结构发生相应调整。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过引入有伴随算子，将希尔伯特 $C^\ast$-模中 $\ast$-框架的概念进行推广？
• RQ2 在何种条件下，两个 $\ast$-算子框架的张量积可构成张量积模上的 $\ast$-算子框架？
• RQ3 张量积框架的 $\ast$-框架算子与各自主 $\ast$-框架算子之间有何关系？
• RQ4 当对 $\ast$-算子框架应用一个可逆有伴随算子时，其框架边界和算子结构会发生什么变化？
• RQ5 张量积框架的 $\ast$-框架算子能否表示为各自主 $\ast$-框架算子的张量积？

主要发现

• 两个希尔伯特 $C^\ast$-模 $\mathcal{H}$ 和 $\mathcal{K}$ 上的 $\ast$-算子框架的张量积，构成张量积模 $\mathcal{H} \otimes \mathcal{K}$ 上的 $\ast$-算子框架。
• 张量积框架的 $\ast$-框架算子等于各自主 $\ast$-框架算子的张量积：$S_{\Lambda \otimes \Gamma} = S_\Lambda \otimes S_\Gamma$。
• 当通过 $\Lambda_i(Q^* \otimes I)$ 应用一个可逆算子 $Q \in End_{\mathcal{A}}^{\ast}(\mathcal{H})$ 时，所得族仍为 $\ast$-算子框架，其下界和上界分别被 $\|Q^{*-1}\|^{-1}$ 和 $\|Q\|$ 缩放。
• 变换后框架的 $\ast$-框架算子为 $S' = (Q \otimes I)S(Q^* \otimes I)$，表明此类变换下框架结构得以保持。
• 当在第二分量上应用可逆算子时，结果相同：$\Lambda_i(I \otimes Q^*)$ 生成一个 $\ast$-算子框架，其 $\ast$-框架算子为 $S' = (I \otimes Q)S(I \otimes Q^*)$。
• 这些结果将文献 [8] 中的定理 3.5 推广到了 $End_{\mathcal{A}}^{\ast}(\mathcal{H})$ 中 $\ast$-算子框架的设定。