[论文解读] Asymmetric Number Partitioning with Splitting and Interval Targets

Samuel Bismuth, Erel Segal-Halevi+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2022

Scheduling and Optimization Algorithms被引用 1

一句话总结

本文研究了具有分割和区间目标的非对称数划分问题，提出了三种变体：可分割项目、分割次数受限和基于区间的决策问题。证明了当固定 n ≥ 3 时，若 s ≥ n−2（可分割项目）、t ≥ n−1（分割次数）或 u ≥ (n−2)/n（区间目标），则问题可在多项式时间内求解；否则问题为强 NP-完全。结果将公平分配与调度推广至具有权益比例的非对称代理。

ABSTRACT

The n-way number partitioning problem is a classic problem in combinatorial optimization, with applications to diverse settings such as fair allocation and machine scheduling. All these problems are NP-hard, but various approximation algorithms are known. We consider three closely related kinds of approximations. The first two variants optimize the partition such that: in the first variant some fixed number s of items can be split between two or more bins and in the second variant we allow at most a fixed number t of splittings. The third variant is a decision problem: the largest bin sum must be within a pre-specified interval, parameterized by a fixed rational number u times the largest item size. When the number of bins n is unbounded, we show that every variant is strongly NP-complete. When the number of bins n is fixed, the running time depends on the fixed parameters s,t,u. For each variant, we give a complete picture of its running time. For n = 2, the running time is easy to identify. Our main results consider any fixed integer n ≥ 3. Using a two-way polynomial-time reduction between the first and the third variant, we show that n-way number-partitioning with s split items can be solved in polynomial time if s ≥ n-2, and it is NP-complete otherwise. Also, n-way number-partitioning with t splittings can be solved in polynomial time if t ≥ n-1, and it is NP-complete otherwise. Finally, we show that the third variant can be solved in polynomial time if u ≥ (n-2)/n, and it is NP-complete otherwise. Our positive results for the optimization problems consider both min-max and max-min versions. Using the same reduction, we provide a fully polynomial-time approximation scheme for the case where the number of split items is lower than n-2.

研究动机与目标

• 将经典的数划分问题推广至具有权益比例的非对称桶，实现对具有不平等主张的代理的公平分配。
• 分析三种松弛变体的计算复杂性：固定可分割项目数、分割次数受限和基于区间的决策问题。
• 以参数 s（可分割项目数）、t（分割次数）和 u（区间目标）为基准，确定多项式时间可解性的紧阈值。
• 将先前关于相同桶的积极结果推广至非对称设置，为固定 n ≥ 3 的情形提供完整的复杂性图谱。

提出的方法

• 引入三种新变体：Dec-SplitItem[n,s]、Dec-Splitting[n,t]，以及以 u 参数化的基于区间的决策问题。
• 通过可分割项目与区间目标变体之间的双向多项式时间归约，建立其复杂性等价性。
• 应用全多项式时间近似方案（FPTAS）求解非对称的最小-最大问题，主算法的时间复杂度上限为 O(m^4 log AS)。
• 采用动态规划框架，其状态空间大小受 L^n 限制，其中 L 取决于物品总和与精度参数 ϵ。
• 通过归约至 3-分割问题，证明当参数低于临界阈值时，问题为强 NP-完全。
• 利用相对和与物品大小的界分析桶的占用情况与物品分布，证明每桶物品数的紧界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 s（可分割项目数）满足何种条件时，具有非对称桶的 n 路数划分问题可在多项式时间内求解？
• RQ2 当分割次数不超过 t 时，问题在何种条件下可多项式时间求解，何种条件下为 NP-完全？
• RQ3 对于基于区间的变体，u 的阈值为何值时，问题可多项式时间求解？
• RQ4 从相同桶到具有权益比例的非对称桶时，复杂性结果如何变化？
• RQ5 先前关于相同桶的积极结果能否推广至非对称的最小-最大与最大-最小目标？

主要发现

• 当固定 n ≥ 3 时，若 s ≥ n−2，则具有 s 个可分割项目的 n 路数划分问题可在多项式时间内求解；否则为强 NP-完全。
• 当分割次数不超过 t 时，若 t ≥ n−1，则问题可在多项式时间内求解；否则为 NP-完全。
• 基于区间的变体在 u ≥ (n−2)/n 时可多项式时间求解，否则为强 NP-完全。
• 主算法的运行时间为 O(m^4 log AS)，其中 m 为物品数量，AS 为总和。
• 对于两桶情形，每桶的物品数被严格限制，每桶的物品数量在约束下最多仅可能取一个值。
• 本文基于参数 s、t 和 u，建立了多项式时间可解性与 NP-完全性之间的完整二分图谱。