[论文解读] Asymmetries in the Shanks-Renyi Prime Number Race

Greg Martin|ArXiv.org|Oct 9, 2000

Analytic Number Theory Research参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文研究模 8 和 12 下素数竞赛中的不对称性，表明非二次剩余（例如模 8 下的 3、5、7）在素数计数中始终优于二次剩余（例如模 8 下的 1），且偏差强度各异。在 GRH 和 LI 假设下，利用显式公式量化了计数函数 π(x; q, a) 之间排序的对数密度，揭示了某些不等式（如 π(x; 8, 3) > π(x; 8, 5) > π(x; 8, 7)）比其他不等式更可能出现，原因在于狄利克雷特征贡献之间的相关性。

ABSTRACT

It has been well-observed that an inequality of the type $π(x;q,a) > π(x;q,b)$ is more likely to hold if $a$ is a non-square modulo $q$ and $b$ is a square modulo $q$ (the so-called ``Chebyshev Bias''). For instance, each of $π(x;8,3)$, $π(x;8,5)$, and $π(x;8,7)$ tends to be somewhat larger than $π(x;8,1)$. However, it has come to light that the tendencies of these three $π(x;8,a)$ to dominate $π(x;8,1)$ have different strengths. A related phenomenon is that the six possible inequalities of the form $π(x;8,a_1) > π(x;8,a_2) > π(x;8,a_3)$ with $\{a_1,a_2,a_3\}=\{3,5,7\}$ are not all equally likely---some orderings are preferred over others. In this paper we discuss these phenomena, focusing on the moduli $q=8$ and $q=12$, and we explain why the observed asymmetries (as opposed to other possible asymmetries) occur.

研究动机与目标

• 解释为何在算术级数中，尽管 π(x; q, a) 和 π(x; q, b) 对互素的 a, b 与 q 渐近相等，非二次剩余在素数计数函数中仍持续占优。
• 量化给定模数 q 下 π(x; q, a) 之间不同排序的相对可能性。
• 研究为何某些三元排序（例如 π(x; 8, 3) > π(x; 8, 5) > π(x; 8, 7)）比其他排序更可能，即使所有涉及的剩余类均为非二次剩余。
• 将切比雪夫偏差的理解从二元比较扩展至小模数下的多路竞赛。
• 探讨狄利克雷 L 函数零点线性无关性（LI）对素数计数函数排序分布的影响。

提出的方法

• 在 GRH 下使用 ψ(x; q, a) 的显式公式，表达 θ(x; q, a)，并推导出涉及狄利克雷 L 函数非平凡零点之和的渐近展开式。
• 定义归一化误差项 E(x; q, a) = (log x)/√x × (φ(q)π(x; q, a) − π(x))，以研究其围绕均值的波动。
• 应用刘维尔函数和特征和，将 E(x; q, a) 与 ∑γ xiγ / (1/2 + iγ) 关联，该表达式模拟振荡分量。
• 采用对数密度 δq;a1,...,ar 来度量满足 π(x; q, a1) > ··· > π(x; q, ar) 的 x 的比例，假设 GRH 和 LI 成立。
• 分析三元组 (a1, a2, a3) 上特征值 χ(ai) 的相关结构，以解释为何某些排序更受青睐，特别是当每个特征下至少有两个值相等时。
• 使用分部求和与误差项估计，将 θ(x; q, a) 与 π(x; q, a) 关联，确保所导出的密度表达式在渐近意义下有效。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何非平方剩余模 q 在素数竞赛中始终领先，尽管当 a, b 与 q 互素时 π(x; q, a) 和 π(x; q, b) 渐近相等？
• RQ2 是什么决定了模 8 下 {3, 5, 7} 中 π(x; q, a) 之间不同三元排序的相对可能性？
• RQ3 特征值 χ(ai) 之间的相关性如何影响素数竞赛中观察到的不对称性？
• RQ4 为何某些排序（如 π(x; 8, 3) > π(x; 8, 5) > π(x; 8, 7)）比其他排序更可能，即使所有涉及的剩余类均为非平方？
• RQ5 当 x → ∞ 时，|π(x; q, ai) − π(x; q, aj)| 的最大差值的 lim inf 行为如何，特别是当 r ≥ 4 时？

主要发现

• 在 GRH 和 LI 下，排序 π(x; 8, 3) > π(x; 8, 5) > π(x; 8, 7) 的对数密度 δ8;3,5,7 严格为正，表明该排序以正密度出现。
• 素数竞赛中非平方对平方的偏向在数量上对不同非平方剩余存在差异；例如，π(x; 8, 3) 对 π(x; 8, 1) 的主导性强于 π(x; 8, 5) 或 π(x; 8, 7) 对 π(x; 8, 1) 的主导性。
• 模 8 下 {3, 5, 7} 的三元竞赛具有不对称性：并非所有 6 种排序排列的可能性均等，这种不对称性源于对每个模 8 的狄利克雷特征 χ，至少有两个 χ(3), χ(5), χ(7) 的值相等。
• 当且仅当 a 是模 q 的非平方剩余而 b 是平方剩余时，密度 δq;a,b > 1/2，从而证实了普遍切比雪夫偏差的存在。
• 在 GRH 和 LI 下，π(x; q, a) = π(x; q, b) 成立的 x 的集合具有对数密度为零，意味着此类等式极为罕见。
• 作者猜想：当 r ≥ 4 时，|π(x; q, ai) − π(x; q, aj)| 的最大差值的 lim inf 为无穷大，而当 r ≤ 3 时为零，暗示在 r = 4 处存在相变行为。