[论文解读] Asymptotic analysis for Vlasov-Fokker-Planck/compressible Navier-Stokes equations with a density-dependent viscosity

Young-Pil Choi, Jinwook Jung|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 21被引用 10

一句话总结

本文通过相对熵方法，建立了具有密度依赖粘性系数的耦合Vlasov-Fokker-Planck/可压缩Navier-Stokes系统在强阻尼与布朗运动标度下的流体动力学极限。在强阻尼与布朗运动标度下，严格推导出由等温Euler方程与具有密度依赖粘性系数的可压缩Navier-Stokes方程组成的两相流模型，证明了动能-流体系统弱解收敛于极限系统的强解。

ABSTRACT

We study a hydrodynamic limit of a system of coupled kinetic and fluid equations under a strong local alignment force and a strong Brownian motion. More precisely, we consider the Vlasov-Fokker-Planck type equation and compressible Navier-Stokes equations with a density-dependent viscosity. Based on a relative entropy argument, by assuming the existence of weak solutions to that kinetic-fluid system, we rigorously derive a two-phase fluid model consisting of isothermal Euler equations and compressible Navier-Stokes equations with a density-dependent viscosity.

研究动机与目标

• 分析具有强阻尼与布朗运动的动能-流体系统的渐近行为。
• 推导耦合Vlasov-Fokker-Planck方程与可压缩Navier-Stokes方程的两相流模型作为其流体动力学极限。
• 建立动能-流体系统弱解收敛于极限流体系统强解的收敛性。
• 在流体动力学极限框架内，将密度依赖粘性系数引入可压缩Navier-Stokes方程。

提出的方法

• 利用相对熵方法分析流体动力学极限，依赖于弱-强唯一性原理。
• 考虑一个奇异摄动情形，其中小参数ε控制Vlasov-Fokker-Planck方程中阻尼与扩散项的尺度。
• 采用熵不等式与能量估计，控制动能-流体解与极限流体状态之间的相对熵。
• 在密度、动量与能量的$L^p$空间中分析收敛性，利用局部可积性与一致有界性。
• 通过将区域划分为正则区与奇异区，建立$n^\varepsilon$、$n^\varepsilon v^\varepsilon$与$n^\varepsilon |v^\varepsilon|^2$对相应流体对应项的收敛性。
• 采用压强律$p(n) = n^\gamma$，并假设$\gamma > 0$，以控制能量估计中的非线性项。

实验结果

研究问题

• RQ1 在强阻尼与布朗运动条件下，具有密度依赖粘性系数的Vlasov-Fokker-Planck/可压缩Navier-Stokes系统的流体动力学极限是什么？
• RQ2 相对熵方法能否扩展至具有密度依赖粘性系数及耦合动能-流体动力学的系统？
• RQ3 动能-流体系统弱解是否收敛于极限两相流系统强解？
• RQ4 密度依赖粘性系数的存在如何影响极限方程的收敛速率与结构？

主要发现

• 动能-流体系统弱解$(f^\varepsilon, n^\varepsilon, v^\varepsilon)$在$\varepsilon \to 0$时收敛于两相流系统强解$(\rho, u, n, v)$。
• 收敛性在$L^1_{\text{loc}}(0,T; L^p_{\text{loc}}(\mathbb{R}^d))$中成立，其中$p \in [1, \gamma]$，且$n^\varepsilon \to n$在$L^\gamma_{\text{loc}}$中成立。
• 动量$n^\varepsilon v^\varepsilon$在$L^1_{\text{loc}}(0,T; L^1_{\text{loc}})$中强收敛于$nv$。
• 动能项$n^\varepsilon |v^\varepsilon|^2$在$L^1_{\text{loc}}(0,T; L^1_{\text{loc}})$中强收敛于$n |v|^2$。
• 通过将区域划分为正则区与奇异区，结合相对熵与压强项的一致有界性，建立了收敛性。
• 极限系统由粒子密度与速度的等温Euler方程，以及具有密度依赖粘性系数的可压缩Navier-Stokes方程耦合而成。