[论文解读] Asymptotic Analysis of Branched Willmore Surfaces

Yann Bernard, Tristan Rivière|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用 12

一句话总结

本文研究了在任意余维下具有任意有限整数阶点奇点的分支Willmore曲面，采用Willmore方程的保守重构形式。研究结果表明：对于一阶奇点，高斯映射具有有界平均振荡（BMO）性质；对于高阶奇点，高斯映射有界；推导出在奇点附近浸入映射和平均曲率的精确渐近展开式，并基于曲率可积性提出了显式的可去奇点条件。

ABSTRACT

We consider a closed Willmore surface properly immersed in ${\R}^m$ (m>2) with square-integrable second fundamental form, and with one point-singularity of finite arbitrary integer order. Using the "conservative" reformulation of the Willmore equation introduced in a previous paper by the second author, we show that, in an appropriate conformal parametrization, the gradient of the Gauss map of the immersion has bounded mean oscillations if the singularity has order one, and is bounded if the order is at least two. We develop around the singular point local asymptotic expansions for the immersion, its first and second derivatives, and for the mean curvature vector. Finally, we exhibit an explicit condition ensuring the removability of the point-singularity

研究动机与目标

• 理解任意有限整数阶点奇点在任意余维下Willmore曲面中高斯映射的正则性。
• 在奇点附近建立浸入映射、其导数及平均曲率向量的精确局部渐近展开式。
• 为分支Willmore曲面中点奇点的可去性建立显式充分条件。
• 将先前关于带奇点的Willmore曲面的研究结果推广至任意余维和任意有限奇点阶数。
• 应用Willmore方程的保守重构形式，分析共形参数化背景下奇点行为。

提出的方法

• 利用[Ri1]中提出的Willmore方程保守重构形式，处理任意余维下的奇异Willmore系统。
• 应用共形参数化技术，将问题约化为在单位圆盘上，奇点位于原点的情形。
• 采用加权Sobolev空间与BMO空间估计，分析高斯映射在奇点附近的正则性。
• 通过位势理论与加权椭圆估计，推导出浸入映射及其导数的渐近展开式。
• 应用Green表示公式与层势方法，将解分解为多项式项与余项。
• 采用具有变系数的迭代椭圆正则性论证，精细刻画孤立奇点附近的解的渐近结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意余维下，分支Willmore曲面中有限整数阶点奇点附近，高斯映射的正则性如何表现？
• RQ2 在任意阶数的奇点附近，浸入映射、其一阶与二阶导数以及平均曲率向量的精确渐近展开式是什么？
• RQ3 Willmore曲面的点奇点在何种条件下是可去的？
• RQ4 Willmore方程的保守重构形式如何促进对任意余维下高阶奇点的分析？
• RQ5 共形参数化在控制第二基本形式与曲率在奇点附近的性质中起什么作用？

主要发现

• 对于一阶奇点，高斯映射的梯度属于有界平均振荡（BMO）空间，表明其在奇点附近振荡受控。
• 对于阶数至少为二的奇点，高斯映射的梯度有界，表明其正则性强于一阶奇点情形。
• 本文推导出浸入映射、其一阶与二阶导数以及平均曲率向量在距离奇点幂级数形式下的显式渐近展开式。
• 渐近展开式中的主导项由次数不超过（a + n + 1）的调和多项式控制，其中a为奇点阶数，n与曲率衰减速率相关。
• 建立了显式的可去奇点条件：若曲率的加权$L^p$-范数对所有$p < rown{\infty}$保持有限，则奇点可被移除。
• 渐近展开式中的余项以$|x|^{n + r + 1 - \epsilon}$的速率衰减，其中任意$\epsilon > 0$，且在加权$L^p$-空间中梯度增长受控。