[论文解读] Asymptotic analysis of the 2D convective Brinkman-Forchheimer equations in unbounded domains: Global attractors and upper semicontinuity

Manil T. Mohan|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 45被引用 7

一句话总结

该论文在有界域和Poincaré域中建立了二维对流Brinkman-Forchheimer方程的全局吸引子和指数吸引子的存在性，证明了吸引子的有限分形维数和Hausdorff维数。此外，通过利用Darcy项，借助拟稳定性与渐近紧致性，将结果推广至无界域，并证明了吸引子在域逼近下的上半连续性。

ABSTRACT

In this work, we carry out the asymptotic analysis of the two dimensional convective Brinkman-Forchheimer (CBF) equations, which characterize the motion of incompressible fluid flows in a saturated porous medium. We establish the existence of a global attractor in both bounded (using compact embedding) and Poincaré domains (using asymptotic compactness property). In Poincaré domains, for $r=1,2$ and $3$, the estimates for Hausdorff as well as fractal dimensions of the global attractors are also obtained. We then show an upper semicontinuity of global attractors for the 2D CBF equations. We consider an expanding sequence of simply connected, bounded and smooth subdomains $Ω_m$ of the Poincaré domain $Ω$ such that $Ω_m oΩ$ as $m o\infty$. If $\mathscr{A}_m$ and $\mathscr{A}$ are the global attractors of the 2D CBF equations corresponding to $Ω$ and $Ω_m$, respectively, then we show that for large enough $m$, the global attractor $\mathscr{A}_m$ enters into any neighborhood $\mathcal{U}(\mathscr{A})$ of $\mathscr{A}$. The presence of Darcy term in the CBF equations helps us to obtain the above mentioned results in general unbounded domains also. Finally, we discuss about the quasi-stability property of the semigroup associated with the 2D CBF equations in bounded domains and establish the existence of finite fractal dimensional global as well as exponential attractors for $r\in[1,\infty)$.

研究动机与目标

• 分析二维对流Brinkman-Forchheimer（CBF）方程在无界域与Poincaré域中的长时间行为。
• 通过紧嵌入与渐近紧致性，在有界域与Poincaré域中建立全局吸引子的存在性。
• 在Poincaré域中，对r = 1, 2, 3推导全局吸引子的分形维数与Hausdorff维数的估计。
• 通过展开有界子域的方式，证明全局吸引子在域逼近下的上半连续性。
• 研究半群的拟稳定性性质，并在有界域中对所有r ∈ [1, ∞) 构造有限维指数吸引子。

提出的方法

• 利用拟稳定性方法，证明有界域中吸引子的收敛性与有限维性。
• 应用渐近紧致性性质，在Poincaré域中建立全局吸引子，借助Poincaré不等式。
• 在有界域中利用紧嵌入，并通过Darcy项将结果扩展至无界域。
• 利用[9]中的定理3.4.11与插值不等式，推导分形维数与Hausdorff维数的上界。
• 分析半群在吸收集上的Hölder连续性，以确认指数吸引子的存在性。
• 考虑一列展开的有界子域Ωₘ ↗ Ω，以证明吸引子Aₘ → A的上半连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无界Poincaré域中，二维CBF方程的全局吸引子是否存在？
• RQ2 在Poincaré域中，当r = 1, 2, 3时，全局吸引子的分形维数与Hausdorff维数是多少？
• RQ3 通过展开有界子域逼近域时，全局吸引子是否具有上半连续性？
• RQ4 能否为有界域中的二维CBF方程在所有r ∈ [1, ∞) 构造指数吸引子？
• RQ5 Darcy项如何实现吸引子结果向无界域的推广？

主要发现

• 在有界域（通过紧嵌入）与Poincaré域（通过渐近紧致性）中，全局吸引子均存在。
• 当r = 1, 2, 3时，Poincaré域中的全局吸引子具有有限的分形维数与Hausdorff维数，其上界由拟稳定性方法导出。
• 全局吸引子具有上半连续性：当m足够大时，Aₘ进入A的任意邻域U(A)，当Ωₘ ↗ Ω。
• 有界域中与二维CBF方程相关的半群具有拟稳定性，从而可对所有r ∈ [1, ∞) 构造有限维指数吸引子。
• Darcy项（α > 0）通过提供额外耗散，对确保无界域中吸引子的存在性至关重要。
• 指数吸引子的存在性源于半群在有界吸收集上的Hölder连续性，以及对[9]中定理3.4.11的应用。