[论文解读] Asymptotic behavior and aging of a low temperature cascading 2-GREM dynamics at extreme time scales

Luiz Renato Fontes, Véronique Gayrard|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文在极端时间尺度下，研究了低温级联2-GREM模型在随机跳跃动力学下的渐近行为与衰老特性。识别出三种不同的动力学相——高于、低于及在精细调节温度下——每种相均以不同的极限K过程为特征，并通过第二次小时间极限推导出严格的衰老结果，超越了REM类 universality，揭示了比物理陷阱模型预测更丰富的衰老行为。

ABSTRACT

We derive scaling limit results for the Hierarchical Random Hopping Dynamics for the cascading two-level GREM at low temperature at extreme time scales. It is known that in the cascading regime there are two static critical temperatures. We show that there exists a (narrow) set of fine tuning temperatures; when they lie below the static lowest critical temperature, three distinct dynamical phases emerge below the lowest critical temperature, with three different types of limiting dynamics depending on whether the temperature is (well) above or below, or at a fine tuning temperature, all of which are given in terms of K processes. We also derive scaling limit results for temperatures between the lowest and he highest critical ones, as well as aging results for all the limiting processes mentioned above, by taking a second small time limit.

研究动机与目标

• 理解2-GREM自旋玻璃模型在低温及极端时间尺度下的动力学行为，此时系统趋近但尚未完全达到平衡。
• 识别并表征2-GREM级联区域中的不同动力学相，特别是低于最低临界温度时的情形。
• 在极端时间尺度区域推导随机跳跃动力学（RHD）的尺度极限结果，此时过程接近平衡。
• 通过第二次小时间极限，为极限K过程建立严格的衰老结果，超越标准REM类衰老图像。
• 探索精细调节温度在诱导2-GREM动力学相变中的作用，特别是在低温级联区域。

提出的方法

• 分析具有层次哈密顿量结构的2-GREM模型：H_N(σ) = H_N^(1)(σ1) + H_N^(2)(σ1,σ2)，其中σ1和σ2为两层自旋构型，具有独立同分布的高斯耦合。
• 考虑随机跳跃动力学（RHD），一种马尔可夫跳跃过程，其跃迁速率依赖于能量差，旨在模拟无序系统中的弛豫行为。
• 在时间尺度为exp(γβN)（γ > 0）的极端时间尺度下应用尺度极限，研究当N → ∞时过程的渐近行为。
• 基于温度相对于两个静态临界温度β_cr^1和β_cr^2的关系，以及一个精细调节温度，识别出三种不同的动力学区域。
• 使用K过程——具有随机时钟的连续时间马尔可夫过程——来描述每种区域的极限动力学，其中时钟过程Γ'和Γ1通过时间变换的子ordinator定义。
• 应用随机界和耦合论证（例如通过Ehrenfest链和几何随机变量）来控制跳跃次数和 hitting 时间，证明指数尾部界并收敛到极限分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 当温度低于最低临界温度时，低温级联2-GREM中会涌现出哪些不同的动力学相？
• RQ2 当温度相对于静态临界温度处于（显著）高于、低于或精细调节温度时，极限动力学如何不同？
• RQ3 精细调节温度在极端时间尺度下诱导2-GREM动力学相变中的作用是什么？
• RQ4 极限K过程的衰老特性与物理陷阱模型所预测的标准REM类衰老图像有何不同？
• RQ5 能否在极端时间尺度下为2-GREM中的RHD推导出严格的尺度极限结果，特别是在β_cr^1 < β < β_cr^2的中间区域？

主要发现

• 在最低临界温度β_cr^2以下，根据温度是否（显著）高于、低于或处于精细调节温度，会涌现出三种不同的动力学相，每种相具有不同的极限K过程。
• 在温度介于β_cr^1与β_cr^2之间时，建立了RHD在极端时间尺度下的尺度极限，显示过程收敛到具有特定时钟结构的K过程。
• 每种相的极限动力学均以K过程明确描述，其中时钟过程Γ'和Γ1由子ordinator及时间变换的随机游走导出。
• 通过第二次小时间极限推导出衰老结果，揭示了两时间相关函数的幂律衰减，不同相的衰老指数不同。
• 衰老行为比基于陷阱模型的物理文献预测更为丰富，因为极限过程表现出对2-GREM层次结构的非平凡依赖。
• 证明了第二层次动力学中跳跃次数的指数尾部界，表明过程不会过快探索整个构型空间，支持衰老现象的出现。