[论文解读] Asymptotic behavior of a Bingham Flow in thin domains with rough boundary

Giuseppe Cardone, Carmen Perugia+1 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2019

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 31被引用 13

一句话总结

本文通过适用于薄域中振荡边界之粗糙周期边界的改进线性展开算子，分析了不可压缩Bingham流体在薄域中的渐近行为。推导出一个保持流动非线性粘塑性特性的均质化极限问题，并表明该极限问题对应于非线性Darcy定律，从而捕捉了通过粗糙微观结构的有效宏观流动。

ABSTRACT

We consider an incompressible Bingham flow in a thin domain with rough boundary, under the action of given external forces and with no-slip boundary condition on the whole boundary of the domain. In mathematical terms, this problem is described by non linear variational inequalities over domains where a small parameter $\epsilon$ denotes the thickness of the domain and the roughness periodicity of the boundary. By using an adapted linear unfolding operator we perform a detailed analysis of the asymptotic behavior of the Bingham flow when $\epsilon$ tends to zero. We obtain the homogenized limit problem for the velocity and the pressure, which preserves the nonlinear character of the flow, and study the effects of the microstructure in the corresponding effective equations. Finally, we give the interpretation of the limit problem in terms of a non linear Darcy law.

研究动机与目标

• 分析当厚度参数 ϵ → 0 时，薄域中不可压缩Bingham流的稳态渐近行为。
• 考虑微尺度粗糙度对薄流体膜中宏观流动行为的影响。
• 推导一个保留Bingham流体非线性特性的均质化极限问题。
• 将均质化问题解释为控制有效过滤速度的非线性Darcy型定律。

提出的方法

• 该分析采用专为具有振荡边界的薄域设计的改进线性展开算子，以处理粗糙周期性微观结构。
• 该方法结合了改进的延拓算子，以建立压力的统一估计，将Tartar方法推广至Bingham情形。
• 通过在适当函数空间中采用弱收敛与强收敛，确立了速度与压力序列的收敛性。
• 利用展开方法推导出两尺度极限，得到在乘积域 ω × Y∗ 上的变分不等式。
• 通过在基本周期胞元 Y∗ 上引入细胞问题，将极限问题重新表述为非线性Darcy定律。
• 非线性算子 A(·) 通过在 Y∗ 上求解局部Bingham问题定义，编码了微观结构的有效渗透率。

实验结果

研究问题

• RQ1 当厚度 ϵ → 0 时，粗糙周期边界如何影响薄域中Bingham流体的宏观流动行为？
• RQ2 在此设置下，速度场与压力场的均质化极限问题是什么？它如何保持Bingham模型的非线性特性？
• RQ3 该极限问题能否被解释为非线性Darcy定律？如果是，其有效非线性渗透率算子的形式是什么？
• RQ4 微尺度粗糙度与屈服应力如何影响薄域中的有效流动特性？

主要发现

• 在薄而粗糙的域中，Bingham流的均质化极限问题被推导为在乘积域 ω × Y∗ 上的两尺度变分不等式，保持了非线性粘塑性行为。
• 证明了该极限问题等价于如下形式的非线性Darcy定律：ˆV = A( ˆf − ∇ˆxp)，其中 A 为通过在基本周期胞元 Y∗ 上的细胞问题定义的非线性算子。
• 有效过滤速度 ˆV 定义为在胞元 Y∗ 上对微观速度的平均值，且在宏观域 ω 中满足无散度条件。
• 非线性算子 A(·) 通过在 Y∗ 上求解局部Bingham问题的解 χ(ˆξ) 定义，该解考虑了微尺度上的屈服应力与粘性阻力。
• 当屈服应力 g → 0 时，收敛结果恢复了经典牛顿流体极限（例如 [6] 中的结果）。
• 该分析通过展开方法与改进的延拓技术，建立了速度与压力所需的紧致性与收敛性性质。