[论文解读] Asymptotic behavior of CLS estimator of autoregressive parameter for nonprimitive unstable INAR(2) models

Mátyás Barczy, Márton Ispány+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2010

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 18被引用 8

一句话总结

本文建立了非原始不稳定 INAR(2) 过程中自回归参数的条件最小二乘（CLS）估计量的渐近分布。通过缩放随机阶梯过程弱收敛到平方 Bessel 过程，推导出 CLS 估计量的极限分布为标准布朗运动的泛函，表明其收敛于伊藤积分与二次变差的比值。

ABSTRACT

In this paper the asymptotic behavior of conditional least squares estimators of the autoregressive parameter for nonprimitive unstable integer-valued autoregressive models of order 2 (INAR(2)) is described.

研究动机与目标

• 分析非原始不稳定 INAR(2) 过程中自回归参数的条件最小二乘（CLS）估计量的渐近行为。
• 将现有关于稳定和近似不稳定 INAR(p) 模型的结果扩展到具有单位根的非原始不稳定 INAR(2) 模型情形。
• 建立适当缩放的样本路径弱收敛到平方 Bessel 过程（Cox-Ingersoll-Ross 过程），从而实现极限分布的推导。
• 将 CLS 估计量的极限分布表示为布朗运动的泛函，为单位根 INAR(2) 模型中的统计推断提供理论依据。

提出的方法

• 作者利用从 INAR(2) 过程构造的缩放随机阶梯过程弱收敛到平方 Bessel 过程（Cox-Ingersoll-Ross 过程），该过程为连续状态分支过程。
• 他们应用泛函中心极限定理和鞅技巧，分析关键统计量的联合渐近行为：设计矩阵的行列式与交叉积向量。
• CL 估计量通过涉及过程经验矩的归一化二次型的函数 g 表示。
• 利用连续映射定理和 Slutsky 引理推导极限分布，其收敛于标准布朗运动的伊藤积分与二次变差的比值。
• 分析基于以下假设：创新分布具有有限的二阶矩，且过程为非原始不稳定，即特征多项式具有单位根但非本原。
• 关键技术步骤在于证明归一化误差项联合收敛于二维布朗运动的泛函，从而导出最终的极限分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 非原始不稳定 INAR(2) 过程中自回归参数的条件最小二乘估计量的极限分布是什么？
• RQ2 与稳定或近似不稳定 INAR(2) 模型相比，非原始不稳定情形下 CLS 估计量的渐近行为有何不同？
• RQ3 能否利用缩放样本路径弱收敛到平方 Bessel 过程的性质，推导出 CLS 估计量的极限分布？
• RQ4 创新分布的二阶矩在决定 CLS 估计量的渐近方差中起什么作用？
• RQ5 在非原始不稳定 INAR(2) 设置下，CLS 估计量是否一致且渐近正态，还是需要采用不同的极限分布？

主要发现

• 非原始不稳定 INAR(2) 模型中自回归参数的 CLS 估计量依分布收敛于标准布朗运动的泛函。
• 极限分布被表征为一个伊藤积分与标准布朗运动二次变差的比值，具体为 $ \frac{\int_0^1 \mathcal{W}_t \, d\mathcal{W}_t}{\int_0^1 (\mathcal{W}_t)^2 \, dt} \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} $，其中 $ \mathcal{W}_t $ 为标准维纳过程。
• 当创新方差为正且过程为非原始不稳定时（即特征多项式具有单位根但非本原），该收敛成立。
• 极限分布是非退化的，不会退化为常数，表明在此设定下 CLS 估计量不是渐近正态的。
• 该结果通过归一化统计量的联合收敛推导得出：$ n^{-5} \det(\mathbf{A}_n) \to \frac{\mu_\varepsilon^2 \sigma_\varepsilon^2}{12} \int_0^1 (\mathcal{W}_t)^2 \, dt $ 与 $ n^{-4} \widetilde{\mathbf{A}}_n \mathbf{d}_n \to \frac{\mu_\varepsilon^2 \sigma_\varepsilon^2}{12} \int_0^1 \mathcal{W}_t \, d\mathcal{W}_t \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} $。
• 渐近分布是分布自由的，即其仅依赖于标准布朗运动的路径性质，而不依赖于创新分布的具体形式，仅依赖于其二阶矩。