[论文解读] Asymptotic Behavior of Conjunctive Boolean Networks Over Weakly Connected Digraphs

Xudong Chen, Zuguang Gao+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2017

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 31被引用 4

一句话总结

本文提出一种系统约简方法，用于表征弱连通有向图上的合取布尔网络（CBNs）的渐近行为。通过将原始网络转换为一个简化后的约简系统——其强连通分量均为环——作者证明该约简系统唯一确定了原始系统的周期轨道，从而可精确预测任意初始条件下系统将进入的极限环。

ABSTRACT

A conjunctive Boolean network (CBN) is a finite state dynamical system, whose variables take values from a binary set, and the value update rule for each variable is a Boolean function consisting only of logic AND operations. We investigate the asymptotic behavior of CBNs by computing their periodic orbits. When the underlying digraph is strongly connected, the periodic orbits of the associated CBN has been completely understood, one-to-one corresponding to binary necklaces of a certain length given by the loop number of the graph. We characterize in the paper the periodic orbits of CBNs over an arbitrary weakly connected digraphs. We establish, among other things, a new method to investigate their asymptotic behavior. Specifically, we introduce a graphical-approach, termed system reduction, which turns the underlying digraph into a special weakly connected digraph whose strongly connected components are all cycles. We show that the reduced system uniquely determines the asymptotic behavior of the original system. Moreover, we provide a constructive method for computing the periodic orbit of the reduced system, which the system will enter for a given but arbitrary initial condition.

研究动机与目标

• 表征弱连通有向图上合取布尔网络（CBNs）的渐近行为，其中先前结果仅限于强连通情况。
• 解决在具有复杂、非强连通拓扑结构的CBNs中计算周期轨道的挑战。
• 开发一种系统化方法，将原始CBN约简为一个更简单但等价的系统，同时保持其长期动力学特性。
• 提供一种构造性算法，用于确定给定初始状态最终将进入的周期轨道。
• 将对CBN动力学的理解从强连通图扩展至更广泛的情形，使分析更适用于现实中的生物系统与网络系统。

提出的方法

• 提出一种新颖的图论方法，称为“系统约简”，将原始弱连通有向图转换为一种简化结构，其中所有强连通分量均为环。
• 定义一个约简系统，其动力学与原始CBN完全一致，确保相同的渐近行为，包括周期轨道。
• 构建一个状态映射 ω，保持原始系统与约简系统之间的动力学一致性，对多条边连接的路径进行相应调整。
• 利用约简系统中环长度的最小公倍数（LCM）来确定任意轨道可能的最大周期。
• 应用一个修改后的映射 Ω 来表征系统的渐近行为，将其上域限制为正长度的环。
• 利用这样一个事实：任何周期轨道中的状态均由其在约简系统中环上的取值唯一确定。

实验结果

研究问题

• RQ1 当底层图非强连通时，如何表征弱连通有向图上CBN的渐近行为？
• RQ2 原始CBN的动力学与仅包含环状强连通分量的简化约简系统之间存在何种关系？
• RQ3 给定任意初始条件，系统将进入哪一个周期轨道，且如何高效计算该结果？
• RQ4 是否可以通过分析复杂度极低的约简系统，完全确定CBN的周期轨道结构？
• RQ5 有向图的何种拓扑性质决定了CBN中可能的周期及其周期轨道结构？

主要发现

• 约简系统唯一确定了原始CBN的渐近行为，包括所有周期轨道。
• CBN中任意周期轨道的周期必整除约简系统中环长度的最小公倍数（LCM），但并非LCM的所有因数都必然对应实际存在的周期。
• 提供了一种构造性算法，基于约简系统可精确计算出任意初始状态所进入的周期轨道。
• 系统约简方法通过将原始有向图转换为所有强连通分量均为环的结构，简化了分析，同时保持动力学等价性。
• 当限制在正长度环上时，映射 Ω 完全表征了系统的渐近行为。
• 该方法推广了先前针对强连通CBN的研究成果，并将其扩展至弱连通图，从而在系统生物学与网络动力学中具有更广泛的应用潜力。