[论文解读] Asymptotic behavior of ground states of generalized pseudo-relativistic Hartree equation

P. Belchior, Hamilton Bueno+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文建立了涉及分数阶拉普拉斯型算子和非局部非线性的广义伪相对论性哈特ree方程的非负基态解的存在性。通过变分法和最大值原理技术，证明了基态在空间中呈指数衰减，扩展了先前结果，放宽了对势函数和核函数的假设，并消除了对 $ W(y) \to 0 $ 在无穷远处成立的依赖。

ABSTRACT

With appropriate hypotheses on the nonlinearity $f$, we prove the existence of a ground state solution $u$ for the problem \[\sqrt{-Δ+m^2}\, u+Vu=\left(W*F(u) ight)f(u)\ \ ext{in }\ \mathbb{R}^{N},\] where $V$ is a bounded potential, not necessarily continuous, and $F$ the primitive of $f$. We also show that any of this problem is a classical solution. Furthermore, we prove that the ground state solution has exponential decay.

研究动机与目标

• 为具有有界但不一定连续的势函数 $ V $ 的广义伪相对论性哈特ree方程建立基态解的存在性。
• 证明基态解是经典解，即属于 $ C^{1,\alpha} \cap C^2 $。
• 在扩展变量和物理空间中建立基态解的指数衰减估计。
• 通过放宽对 $ W $ 的假设，包括去除 $ W(y) \to 0 $ 当 $ |y| \to \infty $ 的要求，推广了 Cingolani 和 Secchi 以及 Coti Zelati 和 Nolasco 的先前结果。
• 将分析扩展到满足次临界增长和弱单调性条件的更广泛非线性类。

提出的方法

• 使用 Caffarelli-Silvestre 扩展，将问题在扩展空间 $ \mathbb{R}^{N+1}_+ $ 中表述，将伪相对论性算子转化为局部问题。
• 在索伯列夫空间 $ H^1(\mathbb{R}^{N+1}_+) $ 中应用变分法，通过在约束下最小化能量泛函来证明基态解的存在性。
• 在扩展域中应用强最大值原理和 Hopf 引理，建立解的严格正性和衰减性质。
• 构造形式为 $ f_R(x,y) = C_R e^{-\alpha x} e^{-(m-\alpha)\sqrt{x^2 + |y|^2}} $ 的上解，与解进行比较并推导衰减估计。
• 采用傅里叶分析和基于 $ L^2 $ 的估计，证明解在 $ x $ 方向呈指数衰减，并利用迹理论将边界上的解与物理空间联系起来。
• 应用哈纳克不等式，证明基态在扩展域中严格为正。

实验结果

研究问题

• RQ1 在较弱的势函数 $ V $ 和核函数 $ W $ 假设下，广义伪相对论性哈特ree方程是否存在基态解，包括当 $ W $ 在无穷远处不趋于零时？
• RQ2 能否证明基态解是经典解，即在扩展空间中光滑？
• RQ3 基态解的空间衰减速率是多少，能否通过指数界进行量化？
• RQ4 衰减估计如何依赖于参数 $ m $、$ V_0 $ 和非线性函数 $ f $？
• RQ5 结果能否推广到非径向势函数和非衰减的 $ W $，同时保持存在性和衰减性？

主要发现

• 在给定的 $ f $、$ V $ 和 $ W $ 假设下，广义问题在 $ H^1(\mathbb{R}^{N+1}_+) $ 中存在非负基态解 $ w $。
• 基态解 $ w $ 是经典解，属于 $ C^{1,\alpha}(\mathbb{R}^{N+1}_+) \cap C^2(\mathbb{R}^{N+1}_+) $。
• 基态解呈指数衰减：对任意 $ \alpha \in (V_0, m) $，存在 $ C > 0 $，使得对所有 $ (x,y) \in [0,\infty) \times \mathbb{R}^N $，有 $ 0 < w(x,y) \leq C e^{-(m-\alpha)\sqrt{x^2 + |y|^2}} e^{\alpha x} $。
• 在边界 $ x = 0 $ 上，解满足 $ 0 < w(0,y) \leq C e^{-\delta |y|} $ 对所有 $ y \in \mathbb{R}^N $，其中 $ \delta = m - V_0 > 0 $。
• 该衰减估计是精确的，即在无额外假设下，指数部分 $ m - \delta $ 无法进一步改进。
• 证明过程不依赖于 $ W(y) \to 0 $ 当 $ |y| \to \infty $，从而推广了依赖于该条件的先前结果。