[论文解读] Asymptotic behavior of multiscale stochastic partial differential equations

Michael Röckner, Longjie Xie+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2020

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 34被引用 6

一句话总结

本文在希尔伯特空间中建立了具有奇异系数的慢-快随机偏微分方程的平均化原理与正常偏差。利用希尔伯特空间中的泊松方程，证明了慢分量强收敛于平均方程，且归一化波动弱收敛于一个Ornstein-Uhlenbeck过程，收敛速率与快分量的正则性无关。

ABSTRACT

In this paper, we study the asymptotic behavior of a semi-linear slow-fast stochastic partial differential equation with singular coefficients. Using the Poisson equation in Hilbert space, we first establish the strong convergence in the averaging principe, which can be viewed as a functional law of large numbers. Then we study the stochastic fluctuations between the original system and its averaged equation. We show that the normalized difference converges weakly to an Ornstein-Uhlenbeck type process, which can be viewed as a functional central limit theorem. Furthermore, rates of convergence both for the strong convergence and the normal deviation are obtained, and these convergence are shown not to depend on the regularity of the coefficients in the equation for the fast variable, which coincides with the intuition, since in the limit systems the fast component has been totally averaged or homogenized out.

研究动机与目标

• 分析希尔伯特空间中具有奇异系数的半线性慢-快SPDE的渐近行为。
• 建立慢分量向其平均极限的强收敛性，视作大数定律的函数形式。
• 将平均方程周围的随机波动表征为函数中心极限定理。
• 推导强收敛与正常偏差的显式收敛速率，且该速率与快分量系数的正则性无关。

提出的方法

• 在希尔伯特空间 $H_1 \times H_2$ 中构建一个带有小参数 $\varepsilon$ 的慢-快SPDE，以分离时间尺度。
• 应用希尔伯特空间中的泊松方程，构造平均化原理的校正函数。
• 使用Galerkin逼近处理无穷维SPDE，并建立矩估计。
• 利用柯尔莫哥洛夫方程与伊tô公式分析归一化偏差过程。
• 通过分数阶Sobolev范数与随机积分界，推导慢分量与快分量的矩估计。
• 应用Burkholder-Davis-Gundy不等式与半群的正则性估计，控制噪声项与漂移项。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\varepsilon \to 0$ 时，多尺度SPDE的慢分量是否强收敛于平均方程？
• RQ2 在奇异系数存在的情况下，强平均化原理的收敛速率为何？
• RQ3 原始系统与平均系统之间的归一化波动是否弱收敛于某个随机过程？
• RQ4 收敛速率能否与快分量系数的正则性无关地进行界定？
• RQ5 波动过程的极限行为如何？其特征是什么？

主要发现

• 当 $\varepsilon \to 0$ 时，慢分量 $X_t^\varepsilon$ 以 $O(\varepsilon^{\gamma})$ 的速率在 $L^q(\Omega)$ 意义下强收敛于平均解 $\bar{X}_t$，其中任意 $\gamma \in (0,1/2)$。
• 归一化差值 $\varepsilon^{-1/2}(X_t^\varepsilon - \bar{X}_t)$ 弱收敛于一个Ornstein-Uhlenbeck过程，从而确立了函数中心极限定理。
• 强平均化原理的收敛速率为 $O(\varepsilon^{\gamma})$，且与快方程系数的正则性无关。
• 推导出 $X_t^\varepsilon$ 与 $\bar{X}_t$ 的矩估计，形式为 $\mathbb{E}\|AX_t^\varepsilon\|_1^q \leq C_{\theta,\gamma,q,T}(t^{\theta-1} + \varepsilon^{-\gamma})(1 + \|x\|_{(-A)^\theta}^2 + \|y\|_2^{2p})$。
• 平均方程在 $H_1$ 中存在唯一的弱解，其正则性通过生成元 $A$ 的分数阶幂控制。
• 波动过程满足 $O(\varepsilon^{\gamma/2})$ 阶的矩界，与中心极限定理的标度一致。