[论文解读] Asymptotic behavior of supercuspidal representations and Sato-Tate equidistribution for families

Ju-Lee Kim, Sug Woo Shin+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 48被引用 5

一句话总结

本文建立了在有限个素数处的超 cuspidal 表示形式度数不断增加的自守表示族的极限多重性性质。通过证明这些表示的矩阵系数的轨道积分在非中心半单元素上一致趋于零，作者导出了 Hecke 特征值的 Sato-Tate 等分布，从而为具有指定局部分量的自守表示数量提供了定量渐近公式。

ABSTRACT

We establish properties of families of automorphic representations as we vary prescribed supercuspidal representations at a given finite set of primes. For the tame supercuspidals constructed by J.-K. Yu we prove the limit multiplicity property with error terms. Thereby we obtain a Sato-Tate equidistribution for the Hecke eigenvalues of these families. The main new ingredient is to show that the orbital integrals of matrix coefficients of tame supercuspidal representations with increasing formal degree on a connected reductive $p$-adic group tend to zero uniformly for every noncentral semisimple element.

研究动机与目标

• 理解在固定位置处超 cuspidal 类型形式度数增长的自守表示族中，其渐近分布的性质。
• 为这类族建立极限多重性性质，通过迹公式技术控制谱多重性，从而改进经典结果。
• 在这些族中证明 Hecke 特征值的 Sato-Tate 等分布，将表示论中的衰减与算术等分布联系起来。
• 以形式度数和 L-包大小为参数，确定自守多重性的精确渐近增长速率。
• 将等分布结果推广至在有限个位置具有 Steinberg 或超 cuspidal 分量的族中，并给出显式误差项。

提出的方法

• 使用 J.-K. Yu 的野生超 cuspidal 表示构造方法，以确保对矩阵系数和形式度数的显式控制。
• 分析超 cuspidal 表示的伪系数在非中心半单元素上的轨道积分，证明当形式度数增加时，其一致趋于零。
• 应用迹公式并选择合适的测试函数，将谱多重性与几何项联系起来。
• 使用简单迹公式和谱投影，分离离散系列与 $ L $-包的贡献。
• 引入 Tamagawa 数和 zeta 因子的修正项，推导出带误差项的精确渐近公式。
• 结合带误差项的 Plancherel 等分布定理，推导出族中 Hecke 特征值的等分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 当固定素数处的局部超 cuspidal 类型形式度数增加时，自守表示的多重性如何增长？
• RQ2 在这些族中，自守形式的 Hecke 特征值是否按照 Sato-Tate 测度等分布？
• RQ3 对于具有固定阿基米德类型和在有限个位置处形式度数增长的超 cuspidal 类型的自守表示，其数量的精确渐近公式是什么？
• RQ4 在具有指定超 cuspidal 分量的族中，极限多重性性质能否通过显式误差项得到加强？
• RQ5 在有限个位置处存在 Steinberg 或超 cuspidal 分量时，对自守形式的渐近分布有何影响？

主要发现

• 随着形式度数增加，野生超 cuspidal 表示的矩阵系数的轨道积分在非中心半单元素上一致趋于零。
• 极限多重性公式带有显式误差项：$ \lim_{j\to\infty} \frac{m(\xi,\sigma_j)}{\deg(\sigma_j)} = c |\Pi_{\infty}(\xi)| \dim \xi $，其中 $ c $ 是与 Tamagawa 数相关的正常数。
• 对于 $ \mathrm{PGL}(2) $，权为 $ k $、水平为 $ \Gamma_0(q^3) $ 的新形式的渐近多重性为 $ \frac{k-1}{12}(q+1)(q-1)^2 $，在 $ q \to \infty $ 时确认了极限多重性。
• 渐近公式中的误差项为 $ O(1) $，优于此前对 $ \mathrm{PGL}(2) $ 的 $ O((kq_S)^{2/3}) $ 估计。
• 在残数特征标足够大的条件下，对于具有增长超 cuspidal 类型的族，建立了 Hecke 特征值的 Sato-Tate 等分布。
• 对于分裂单代数群，当残数域大小足够大时，存在具有固定阿基米德类型、在有限个位置为 Steinberg 类型、其余位置无ramified 的 cuspidal 自守表示。