[论文解读] Asymptotic behavior of the nonlinear Schr\\"odinger equation with harmonic trapping

Hani, Zaher, Laurent Thomann|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 25被引用 13

一句话总结

本文针对香肠形（1维）配置下的立方非线性薛定谔方程（NLS）谐振子阱，建立了修正散射理论，证明长时间动力学由等价于一维立方非线性薛定谔方程的共振系统所支配。该结果为玻色-爱因斯坦凝聚体物理中使用的准一维近似提供了理论依据并加以拓展，表明尽管由于束缚导致线性色散损耗，非线性效应仍主导了渐近行为。

ABSTRACT

We consider the cubic nonlinear Schr\\"odinger equation with harmonic trapping on $\\mathbb{R}^D$ ($1\\leq D\\leq 5$). In the case when all but one directions are trapped (a.k.a "cigar-shaped" trap), following the approach of Hani-Pausader-Tzvetkov-Visciglia, we prove modified scattering and construct modified wave operators for small initial and final data respectively. The asymptotic behavior turns out to be a rather vigorous departure from linear scattering and is dictated by the resonant system of the NLS equation with full trapping on $\\mathbb{R}^{D-1}$. In the physical dimension $D=3$, this system turns out to be exactly the (CR) equation derived and studied by Faou-Germain-Hani. The special dynamics of the latter equation, combined with the above modified scattering results, allow to justify and extend some physical approximations in the theory of Bose-Einstein condensates in cigar-shaped traps.

研究动机与目标

• 为了严格证明在香肠形阱中玻色-爱因斯坦凝聚体理论所用的准一维近似成立。
• 分析三维及以上维度下各向异性谐振子阱中立方非线性薛定谔方程的长时间渐近行为。
• 为小初值和终值构造修正波算符，证明其呈现修正散射而非线性散射。
• 将物理近似拓展至谐振子阱中多个能级被激发的情形。

提出的方法

• 借鉴文献[18]的方法，研究D维下具有谐振子阱的NLS方程的渐近行为。
• 在某一方向未被束缚（即香肠形）的极限下分析系统，将动力学约化为R^{D-1}上的共振系统。
• 采用多时间尺度展开，并使用形如U(t,x,y) ~ ψ(t,x)e^{2it}e^{-|y|^2/2}的试探解，推导出有效的一维动力学。
• 应用Littlewood-Paley分解与频率局部化技术，控制共振系统中的非线性相互作用。
• 运用对易子估计与加权Sobolev范数，边界共振系统中的非线性项，特别使用算子τ_m^{Λ}。
• 利用β-范数的适定性与Schur引理，建立频率局部化贡献的平方可 summability 性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在香肠形阱中，玻色-爱因斯坦凝聚体的准一维近似在长时间尺度下是否仍然成立，即使更高能级被激发？
• RQ2 在各向异性极限下，具有谐振子阱的立方NLS方程的精确渐近行为是什么？
• RQ3 在谐振子束缚存在的情况下，R^{D-1}上的共振系统如何支配长时间动力学？
• RQ4 能否在香肠形阱配置下，为小数据构造修正波算符？
• RQ5 在三维NLS方程具有谐振子阱的长时间极限下，一维立方NLS方程（CR方程）是否为正确的有效动力学？

主要发现

• 在香肠形配置下，立方NLS方程与谐振子阱结合，成功建立了修正散射，显示出与线性散射的显著偏离。
• 渐近动力学由R^{D-1}上的共振系统所支配，当D=3时，该系统等价于立方非线性薛定谔方程（CR方程）。
• 准一维近似在长时间尺度下得到严格证明，其适用范围已从基态区域拓展至包含更高能级的情形。
• 此前在[9,11,12]中研究过的共振系统特殊动力学，被证明主导了完整三维系统的长时间行为。
• 为小数据构造的修正波算符确认了存在与线性散射不同的渐近态，其差异源于非线性效应。
• 该方法通过频率局部化与对易子估计成功控制了非线性相互作用，证明了所需Sobolev范数的有界性。