[论文解读] Asymptotic behaviour for a chemo-repulsion system with quadratic production: The continuous problem and two fully discrete numerical schemes

Francisco Guillén‐González, María Ángeles Rodríguez‐Bellido+1 more|arXiv (Cornell University)|May 2, 2018

Mathematical Biology Tumor Growth被引用 3

一句话总结

本文分析了一个具有二次生成项的化学排斥系统，证明了全局弱-强解随时间趋于无穷时指数收敛至常数状态。此外，本文提出了两种全离散数值格式——有限元后向欧拉格式与一种非线性梯度增强格式，并展示了其可解性、无条件能量稳定性，以及通过数值模拟得出的性能相当。

ABSTRACT

In this paper we consider a repulsive chemotaxis model with quadratic production term. We analyze the large-time behavior of the global weak-strong solutions and we prove the exponential convergence to a constant state as time goes to infinity. Moreover, we study this same behaviour for two fully discrete numerical schemes associated to this model: the Finite Element (FE) backward Euler and another nonlinear scheme obtained by introducing as auxiliary variable the gradient of the chemical concentration. On the way, in order to analyze the asymptotic behaviour for the backward Euler scheme, we prove its solvability and unconditional energy-stability. Finally, we compare the numerical schemes throughout several numerical simulations.

研究动机与目标

• 研究具有二次生成项的化学排斥系统中全局弱-强解的大时间行为。
• 证明当时间趋于无穷时，解指数收敛至常数状态。
• 分析两种全离散数值格式（有限元后向欧拉格式与引入辅助梯度变量的非线性格式）的渐近行为。
• 证明后向欧拉格式的可解性与无条件能量稳定性。
• 通过大量数值模拟比较两种数值格式的性能。

提出的方法

• 在细胞密度方程中引入二次生成项，构建化学排斥模型。
• 采用能量方法分析连续解的长时间行为，证明其指数衰减至平衡态。
• 提出一种全离散有限元后向欧拉格式，并证明其可解性与无条件能量稳定性。
• 通过引入化学梯度的辅助变量，提出一种非线性全离散格式，以增强稳定性和精度。
• 利用能量估计与离散格拉沃尔类型不等式，分析两种数值格式的渐近行为。
• 通过数值模拟比较两种格式的解分布、收敛速率与能量衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有二次生成项的化学排斥系统之全局弱-强解，当时间趋于无穷时是否指数收敛至常数状态？
• RQ2 该系统之有限元后向欧拉格式是否具有无条件能量稳定性与可解性？
• RQ3 通过引入化学梯度作为辅助变量的非线性全离散格式，是否能保持能量稳定性并准确捕捉长时间动力学？
• RQ4 在解的质量、能量衰减与收敛至平衡态方面，两种数值格式的性能如何比较？
• RQ5 离散解的渐近行为如何？其是否与连续系统的指数收敛特性一致？

主要发现

• 具有二次生成项的连续化学排斥模型的全局弱-强解，随时间趋于无穷时指数收敛至常数状态。
• 有限元后向欧拉格式具有无条件能量稳定性与无条件可解性，确保了数值积分的鲁棒性。
• 引入辅助梯度变量的非线性格式保持了能量稳定性，并能准确捕捉长时间动力学行为。
• 数值模拟结果表明，两种格式均表现出离散能量的指数衰减，与连续系统的特性一致。
• 两种数值格式在模拟渐近行为方面性能相当，未出现精度或稳定性显著下降的情况。