[论文解读] Asymptotic behaviour of randomised fractional volatility models

Blanka Horvath, Antoine Jacquier+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 62被引用 5

一句话总结

本文研究了由 Hurst 参数 $ H \in (0,1) $ 的分数布朗运动驱动的随机化分数阶波动率模型的渐近行为，将大偏差原理扩展至分析隐含波动率的小时间尺度和尾部行为。主要贡献在于对随机初始波动率分布如何调节隐含波动率爆炸速率进行了定量刻画，特别是在粗糙波动率模型中表现显著。

ABSTRACT

We study the asymptotic behaviour of a class of small-noise diffusions driven by fractional Brownian motion, with random starting points. Different scalings allow for different asymptotic properties of the process (small-time and tail behaviours in particular). In order to do so, we extend some results on sample path large deviations for such diffusions. As an application, we show how these results characterise the small-time and tail estimates of the implied volatility for rough volatility models, recently proposed in mathematical finance.

研究动机与目标

• 理解随机初始波动率对粗糙随机波动率模型中隐含波动率动态的影响。
• 将样本路径大偏差理论扩展至具有随机初始条件的分数布朗运动驱动扩散过程。
• 刻画 $ H \in (0,1/2) $ 情况下模型的短时间尺度与重尾行为，该情况与近期市场数据相关。
• 建立初始波动率分布尾部行为与短期期限隐含波动率微笑陡峭程度之间的理论联系。
• 为粗糙波动率设定下的远期起始期权与波动率曲面建模提供严谨的渐近框架。

提出的方法

• 将类似 Freidlin-Wentzell 的大偏差原理扩展至具有随机初始状态的分数布朗运动驱动的小噪声扩散过程。
• 应用压缩原理与路径尺度变换技术，推导具有随机初始分布 $ \zeta $ 的过程 $ X^{\varepsilon, \zeta} $ 的大偏差原理。
• 利用与分数阶 SDE 相关控制问题导出的速率函数 $ I $ 来量化罕见事件的概率。
• 应用 Millet, Nualart 和 Sanz (2005) 关于随机环境扩散结果，以在假设 3.4 下验证大偏差原理。
• 通过 $ \varepsilon^{2b}X_t \sim \text{LDP}(\varepsilon^{2b}, \widetilde{\Lambda}) $ 的尺度极限分析尾部与小时间尺度行为。
• 依赖压缩原理及通过指数速率函数获得的概率上下界，推导渐近估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 初始波动率分布的尾部行为如何影响粗糙波动率模型中隐含波动率爆炸速率？
• RQ2 当波动率过程由 $ H \in (0,1) $ 的分数布朗运动驱动时，隐含波动率的小时间尺度渐近行为如何？
• RQ3 大偏差原理能否扩展至具有随机初始条件与分数噪声的扩散过程？
• RQ4 与固定初始值相比，初始波动率的随机化如何改善对陡峭短期隐含波动率偏斜的建模？
• RQ5 初始波动率分布的尺度与远期起始期权价格渐近行为之间的精确联系是什么？

主要发现

• 在短到期期限下，隐含波动率的爆炸速率由初始波动率分布的尾部厚度直接调节，尾部越重，爆炸越快。
• 对于 $ H \in (0,1/2) $，隐含波动率的小时间尺度渐近行为由速度为 $ \varepsilon^{2} $ 的大偏差原理控制，导致尾部概率中出现 $ t^{2H+b} $ 的标度。
• 当初始波动率具有重尾分布时，隐含波动率曲面表现出更陡峭的偏斜，证实即使不存在底层过程的跳跃，也能生成陡峭的偏斜。
• 过程 $ X^{\varepsilon, \zeta} $ 的大偏差原理以速度 $ \varepsilon^2 $ 成立，且具有由分数阶 SDE 相关控制问题导出的良好速率函数 $ I $。
• 在 $ \varepsilon \to 0 $ 的极限下，尾部概率 $ \mathbb{P}(X_t \geq k) $ 以速率 $ -\inf_{y \geq 1} \widetilde{\Lambda}(\phi) $ 指数衰减，其中 $ \widetilde{\Lambda} $ 为缩放生成元的 Legendre 变换。
• 结果证实，随机化粗糙波动率模型为远期起始期权提供了一致的理论框架，并解释了经验上持续存在的陡峭波动率微笑现象。