[论文解读] Asymptotic behaviour of the fractional Heston model

Hamza Guennoun, Antoine Jacquier+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 34被引用 14

一句话总结

本文分析了分数阶Heston模型，其中波动率由分数布朗运动驱动，赫斯特参数 $ H \in (0,1) $，并推导了在短期和长期期限下隐含波动率的渐近行为。研究表明，当 $ H < 1/2 $ 时，隐含波动率在短期期限下表现出跳跃型行为，解决了经典模型在拟合波动率微笑陡峭短端时的失败问题。

ABSTRACT

We consider the fractional Heston model originally proposed by Comte, Coutin and Renault. Inspired by recent ground-breaking work on rough volatility, which showed that models with volatility driven by fractional Brownian motion with short memory allows for better calibration of the volatility surface and more robust estimation of time series of historical volatility, we provide a characterisation of the short- and long-maturity asymptotics of the implied volatility smile. Our analysis reveals that the short-memory property precisely provides a jump-type behaviour of the smile for short maturities, thereby fixing the well-known standard inability of classical stochastic volatility models to fit the short-end of the volatility smile.

研究动机与目标

• 为解决经典随机波动率模型在标定波动率微笑陡峭短端方面持续存在的失败问题。
• 研究具有短记忆特性（$ H < 1/2 $）的分数布朗运动是否能够解释波动率曲面中观察到的市场行为。
• 刻画分数阶Heston模型中隐含波动率在大期限和短期限下的渐近行为。
• 为经验观察提供理论依据，即尽管长期记忆时间序列证据存在，但 $ H \in (0,1/2) $ 比 $ H > 1/2 $ 更好地拟合波动率曲面。

提出的方法

• 该模型通过将经典Heston模型中波动率过程的布朗运动替换为赫斯特参数 $ H \in (0,1) $ 的分数布朗运动，对经典Heston模型进行了扩展。
• 推导出对数股价的特征函数，实现闭式表达，从而可精确计算期权价格和隐含波动率。
• 应用大偏差原理于重标度的对数股价过程，以分析尾部行为和隐含波动率的渐近行为。
• 利用Gärtner-Ellis定理推导出控制尾部概率指数衰减的速率函数 $ \Lambda^* $，该函数决定了隐含波动率的渐近行为。
• 对 $ H \in (0,1/2) $ 和 $ H \in (1/2,1) $ 分别进行渐近分析，揭示了在短期和长期期限下行为的显著差异。
• 论文建立了在不同缩放函数 $ f(t) $（如 $ f(t) = t^{1+d/2} $）下期权价格及其对数概率的收敛结果，以推导隐含波动率的极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ H < 1/2 $ 时，隐含波动率在到期期限趋近于零时的行为如何？
• RQ2 在分数阶Heston模型中，当 $ H > 1/2 $ 时，隐含波动率在长期期限下的渐近行为是什么？
• RQ3 为何经验标定中 $ H \in (0,1/2) $ 比 $ H > 1/2 $ 更好地拟合波动率曲面，尽管历史时间序列表明存在长记忆性？
• RQ4 分数阶Heston模型能否再现市场数据中在短期期限下观察到的隐含波动率跳跃型行为？
• RQ5 赫斯特参数与时间缩放之间的相互作用如何影响对数股价过程的大型偏差？

主要发现

• 当 $ H \in (0,1/2) $ 时，隐含波动率在短期期限下表现出跳跃型行为，且 $ \lim_{t\uparrow\infty} t^{-d/4} \Sigma(x t^{1+d/2}) = \sqrt{2} \left( \sqrt{\Lambda_+^*(x)} + \sqrt{\Lambda_+^*(x) - x} \right) $，表明存在爆发性行为。
• 当 $ H \in (1/2,1) $ 时，隐含波动率在大期限下收敛到一个严格为正的常数，反映了长记忆的平均效应。
• 在短期期限下，$ H < 1/2 $ 的模型产生的隐含波动率微笑比经典模型更陡峭，更准确地匹配市场数据。
• 重标度的对数股价过程弱收敛但非路径意义收敛，这一特征类似于跳跃扩散模型，解释了跳跃型行为的产生。
• 隐含波动率的渐近行为由累积生成函数的Fenchel-Legendre变换 $ \Lambda^* $ 所决定，该变换通过Gärtner-Ellis定理推导得出。
• 分析结果证实，分数阶Heston模型中 $ H \in (0,1/2) $ 的设定为粗糙波动率模型在拟合波动率曲面方面经验上的成功提供了理论基础。